Есть такой материал, который, при его растягивание, само укрепляется ?

Почитайте "Неньютоновские жидкости"http://nd-tehnik.ru/node/50
А не изнашиваются ...так весь мир над этим работает : можно и очень крепкую сделать, но ...скользко будет . Нужно тормозить, дорога - абразив, даже твердые камни стирает и сталь :)

Проект???? ты в пятом классе что ли?
Производители тратят миллиарды, для поиска таких материалов.. . это вступление
Теперь по вопросу - причем тут растягивание/одновременное укрепление и износостойкость на трение?
Теперь ответ: материал который растягивается не может даже сохранить свою первоначальную прочность, но теоретически такой материал возможен если он не будет растягиваться вовсе, и это чисто теоретическая модель в природе такое невозможно!
По автомобильным шинам.. . тут несколько моментов:
1. Это палка о двух концах, в принципе материал который не будет изнашиваться будет иметь низкий коэффициент трения, а если шины будут иметь низкое трение они не будут иметь сцепление с дорогой, дальше сам допетришь?
2. Такие материалы возможны станут с приходом настящих нанотехнологий, не путать с сегодняшними нанотехнологиями, сейчас это профанация чистой воды, много слов "нано" но по сути это маркетинговый трюк. Настоящее нано будет когда ты сидя за компом сможешь строить материалы "по-атомам" расставляя их в том месте и в той структуре какой считаешь нужной. До тех пор пока хотя бы один единственный атом во всей огромной полимерной молекуле или кристаллической решетке будет неконтролируемым, такую технологию нельзя будет назвать "нано"

Кто сказал, что нужно всегда повторять уже известные решения. Почему как автомобильное колесо, так обязательно жесткий диск и резиновые камеры и шины?
Предложи делать колеса из закаленной упругой, как рессоры стали с выдвижными калеными шипами. Если асфальт - шипы выдвигаются на миллиметр, если лед - на сантиметр. Если износились - опять выдвигаются. Такое колесо может быть в виде тонкостенного упругого обруча, как обручальное кольцо. Далее вопрос по спицам - это могут быть и пружины. Конечно, нужны хорошие рессоры на автомобиле. Это было бы более интересно, чем плестись в хвосте у исследовательских центров автогигантов, - все козыри по материалам у них. Здесь вы вероятнее всего "придумаете велосипед"