Для чего нужно было вводить понятия моментов случайной величины в теории вероятностей? Каков практический смысл?

В теории, если Вы имеете функцию плотности распределения вероятности (или просто функцию распределения вероятности) и с помощью этой функции можете посчитать всё, что угодно.

А на практике Вы имеете, например, какой-то случайный процесс по времени с заранее неизвестной функцией распределения вероятности (или функцией плотности распределения вероятности). Поэтому ничего посчитать Вы не можете.

Но Вы можете по эмпирическим данным посчитать любые моменты случайного процесса. И по этим моментам Вы можете смоделировать функцию плотности распределения вероятности. И вот уже с этой модельной функцией плотности распределения вероятности Вы можете посчитать всё что угодно, как в теории, когда эта функция точно известна.

Чем больше Вы посчитаете моментов, тем точнее Вы смоделируете плотность распределения вероятности.
По первому моменту (среднее значение) Вы определите, где концентрируется эта функция.
По второму моменту (дисперсия) определяют эффективную ширину этой функции.
По третьему моменту определяют асимметрию этой функции.
По четвертому моменту определяют быстро ли идет спад этой функции (по сравнению с нормальным распределением Гаусса).
По пятому моменту определяют один пик у этой функции или больше.
И т. д.

В теории если посчитать все моменты до бесконечности, то можно точно восстановить всю функцию плотности распределения. Поэтому на практике, чем больше моментов Вы посчитаете, тем точнее нарисуете эту функцию и тем точнее аппроксимируете её, например, полиномами и экспонентами для теоретических расчетов.

Как всегда, математика шьет все одежды, какие возможно, а практика выбирает из них, во что одеваться. Например, моменты используются, чтобы оценить по ним параметры функции распределения.