Приведите пожалуйста пример применимости теоремы Геделя о неполноте к теории вероятностей?

Хороший вопрос. Если совсем на пальцах, то так:

Берем отрезок [0, 1], кидаем в него булавку обычным школьным методом. Вопрос: для любого ли подмножества отрезка можно посчитать вероятность попадания в него? Без аксиомы выбора ответа на этот вопроса, вроде бы (на 100% не уверен), нет, хотя, казалось бы, методом Монте-Карло можно посчитать что угодно....

Логика такая: При принятии аксиомы выбора можно построить множества, которые нельзя измерить по Лебегу (значит, и такие, которые не являются борелевскими). Без аксиомы выбора построить пример множества, которое не является измеримым по Лебегу, нельзя; а вот насчет построения множества, не являющегося борелевским - навскидку что-то и не скажу. Обычно примеры множеств, которые не являются борелевскими, но являются измеримыми по Лебегу, строятся при помощи отображения подмножества меры Лебега нуль в другое пространство и построения там множества, не являющимся измеримым по Лебегу... О чем речь: если кубик (для простоты, чтоб с одномерным случаем не возиться), то отрезаем от него одну грань и на место нее приклеиваем подмножество квадрата, которое нельзя измерить... Других способов построения множеств, не являющихся борелевскими (но при этом чтоб были измеримы по Лебегу), я не знаю.

сколько помню, теория вероятностей стоит на теории меры, так что в ней есть действительные числа. И теория множеств в ней тоже есть.

Привожу: «Превышает ли вероятность сформулировать пример Теоремы Гёделя о неполноте средствами ТВ, вероятность невозможности такой формулировки?»
Если превышает, то мы вынуждены признать, что такой пример существует. Если не превышает – то не существует. Но, в то же время: последнее утверждение (вкупе с самим примером) является утверждением, который может быть рассмотрен теорией вероятностей, т. е. этим самым примером и является!