"От перемены мест множителей произведение не меняется". Нужно строго логическое доказательство (вне опыта-проверки)

Нужно взять определение умножения. Например умножение целых чисел можно определить как повторное сложение: n*0=0; n*(m+1)=n*m+n. Тогда коммутативность умножения следует из коммутативности и ассоциативности сложения. Доказательство есть в учебниках по теоретической арифметике или теории чисел.

Дело в том, сто есть математические объекты, когда меняется! Матрицы, например. Бывает так, что а*b существует, а b*a - нет, и бывает, что а*b<>b*a. Поэтому надо добавлять, над каким множеством объектов определена операция и как (над векторами определены две операции умножения, а бывает и больше, хотя, когда "умножений" много, их называют стыдливо "композициями")

что в лоб, что по лбу, какая разница 2 на 3 или 3 на 2 множить.

Какое может быть доказательство, когда это аксиома? Естественно, пока мы находимся в пределах обычной элементарной математики. Ведь не только геометрия построена на аксиомах, но и арифметика тоже. В школе это не проходят, но в вузовском курсе наверняка есть предмет типа "Теоретические основы элементарной математики", в котором все это изложено.
Ученые-теоретики, конечно, давно уже разработали различные виды математических структур (полей? /колец?... - я в них и раньше-то не разбирался, а теперь, через 40 лет после физмата, и подавно), в которых это правило не соблюдается. То есть, в них другая система аксиом.

Прочитал ответ Романа Кобзева, но считаю, что его можно сократить. Итак. Требуется доказать, что n*k=k*n
Введем коэффициент k1=n/k. Тогда отсюда n=k*k1 и k=n/k1. Подставив эти выражения вместо n и k получаем: n*k=k*k1*n/k1=k*n, что и требовалось доказать.

huy hui sosta hyi

Куча, прошу прощения, п*здабольста и нулевое количество ответов по существу.
Что ж, пожалуй, я начну:

Предположим, мы счатливые обладатели двух чисел - n и k, и вопрос обстоит в доказательстве n*k = k*n, то есть равенства числовых множеств.

Расшифруем их первозданную суть: n*k - есть ни что иное, как сумма элементов n, в количестве k(n+n+n+n+n+...k раз). Абсолютно идентичная ситуация с k*n, что логично и очевидно.

Далее перейдем к главному зерну истины: любые два числа могут быть представлены в виде пропорций - имеем всё те же n и k, введем коэффицент k1 = n/k -> k = n/k1 -> n = k*k1. И тут, вероятно, назревает вопрос о причинах столь бесцеремонного вмешательства, однако не стоит торопить события: сфокусирумеся на начальной математической сумме (Σ) n*k, успешно мутировавшей в вид (k*k1)*(n/k1) -> а это значит только одно, теперь элементы этого множества представлены в виде других множеств (или подмножеств, как Вам удобно), а именно - k*k1 -> (k+k+k+k+k... k1 раз) и это подмножество состоит в множестве других эквивалентных ему элементов в количестве n/k1 ->
(k+k+k+k+k... k1 раз) + (k+k+k+k+k... k1 раз) + (k+k+k+k+k... k1 раз) +..n/k1 раз. В наших подмножествах фигурирет количество элементов k, быть может, переведем его в общее? Если каждый элемент n/k1 множества, состоит из k1 элементов k, что это значит? Верно! Количество k элементов прямо пропорционально количеству подмножеств в размере n/k1 -> получаем множество k+k+k+k+k....n/k1 * k1, где n/k1 - 1/k1 доля n, которая суммируется с собой же k1 раз и мы возвращаемся к исходному значению (n) и k1 благополучно улетучивается). В финале уже распологаем множеством k+k+k+k+k....n. Ой. Что же это? Неужели k*n?

P.S.: пусть вопрос и давний, но лучше поздно, чем никогда