СТО и классическая физика

Есть. Дофига.
Последнее по времени, которое я знаю - эксперимент Александрова на синхротроне курчатника
Там была смешная история: Александров младший - известный альт, и долго носился с идеей, что скорость света таки зависит от скорости именно источника. Ессно его поднимали на смех, но он убедил таки Ковальчука разрешить поставить простенький эксперимент. (Ковальчук всю жизнь мечтал досадить напыщенным академикам РАН)))

И Александров поставил эксперимент. И убедился. что скорость синхротронного излучения равна таки с, а не 2с (синхротронное излучение6 испускают электроны, движущиеся практически со скоростью света, ненамного меньше.
Причём Александров - честный учёный, хоть и альт, и опубликовал результаты. которые с удовольствием напечатали престижные журналы (эксперимент-то красивый, для того, чтобы отличить с от 2с - никакой точности не нужно)))
Поищите его статьи, где-то три года назад....

Для наблюдателя с Земли закон сложения скоростей ракеты относительно Земли и человека относительно ракеты отличается от простой суммы. С Земли кажется, что человек в ракете бежит медленнее, чем кажется людям в ракете - у них ведь время течет. с точки зрения землян, иначе. Поэтому общая сумма скоростей для земного наблюдателя никогда не достигнет скорости света.
Допустим, с ракеты, движущейся со скоростью 200 т. км/с запустили вперед вторую ракету, тоже со скоростью, по мнению запускающих, 200 т. км/с. Но с Земли кажется, что вторая ракета удаляется от Земли со скоростью только (200000+200000)/(1+(200000*200000/300000²)=277000 км/с. А от первой ракеты соответственно, только 77000 км/с, хотя в ракете кажется, что скорость второй ракеты относительно первой 200000 км/с.

Есть: эффект Саньяка, например. Опыт Физо. Электродинамика.
===
Механика Ньютона - это релятивистская, при условии с→∞.

СТО - это и есть часть классической физики, не квантовой.

Проводили как-то эксперимент с атомными часами на основе цезия. Два самолёта с синхронизированными часами взлетели из одной точки где-то в районе экватора - один полетел в одну сторону (по вращению Земли), другой в противоположную. Долго так летали, и даже наработали какие-то отклонения, только погрешность самих часов оказалась в 2-3 раза больше. Так что ничего доказать так и не смогли - техника подвела. Сейчас хотят сделать новые атомные часы, на другом элементе, но это дело не быстрое.
А вообще в СТО, если говорить о распространённом мнении о "временном парадоксе", есть один затык - сокращение времени самого по себе невозможно. Потому что это не просто время, а пространство-время. То есть та же ракета, если парадокс реален, должна не только отстать во времени, но ещё и ужаться в прос транстве. Хотите разбежку во времени в 20000 раз - сплющивайте продольный размер космонавта во столько же. :-) Ведь весь "парадокс" в СТО именно из этого и выводят - из сокращения продольных размеров тел при ускорении.