Вопрос из классической физики, раздел механика.

Неправильно.
Механическая система эволюционирует не так, что её энергия при этом минимальная, а так, что её действие во время эволюции минимальное.

А энергия минимальной получается только в виде цели этой эволюции, но только тогда, когда тело перестает двигаться. Если тело продолжает двигаться (например, нет диссипации энергии), то это не означает, что оно приходит в состояние с минимальной энергией.

Вариационное исчисление занимается поиском функции, которая минимизирует что-то, например, минимизирует какой-то интеграл. В общем случае, это что-то называется функционалом. В матанализе, например, вы ищите точку, которая минимизирует функцию, а в вариационном исчислении вы ищите функцию, которая минимизирует функционал.

Вы спутали знаки у гамильтониана и лагранжиана. В простейшем случае, когда энергия разделима на потенциальную и кинетическую (это бывает, когда присутствует потенциальное поле, то есть поле с работой, зависящей только от начальной и конечной точки), в гамильтониане берется знак плюс, а в лагранжиане минус. В общем случае такой разделимости не бывает, и часто глядя на формальную запись гамильтониана непонятно, как её переделать в лагранжиан, и, наоборот.

Но, в общем случае, гамильтонов формализм и формализм Лагранжа эквивалентны друг другу. Выбор делается из соображения удобства.

В классической механике нет понятия наиболее вероятной траектории системы. Там только одна траектория и её вероятность равна 1.
А вот в квантовой механике всем траекториям приписывается некоторая вероятность и траектория с самой большой вероятностью имеет вероятность меньше единицы. Вероятность единица имеет только сумма вероятностей всех траекторий (точнее интеграл по всем траекториям, так как траектории деформируются непрерывно).

Действие - не интеграл траектории, а интеграл лагранжиана. Который траекторией никак не является.
И он не сумма кинетической и потенциальной энергии, а разность. Скорее уж гамильтониан - сумма.
Без настоящего изучения материала в голове так и будет каша.

Лучше не умничать, а читать учебник. Можно и Википедию.