в мат анализе доказывается (и как) или только постулируется

Дело вот в чём: в таких вещах, как x^dx приходится понимать dx как бесконечно малую константу. Но в теории множеств не может быть бесконечно малых констант: монада — не множество. Матанализ, который нам преподают, строится на теории множеств. Он поэтому представляет собой лишь куцую часть настоящего матанализа, изобретённого Евдоксом, Ньютоном, Лейбницем и сформулированного Эйлером. В кастрированном матанализе ни только x^dx не имеет никакого смысла, но и сам dx. То, что называют дифференциалом в учебниках по недоанализу, им не является и это просто обман учащихся (обманывают те, кто, зная правду, говорят неправду).
В нормальном матанализе вещь типа a^dx получится, например, в производной показательной функции: da^x=a^(x+dx) - a^x=a^x(a^dx - 1). Так вот теперь, что такое a^dx зависит только от определения операции возведения в степень. Его Эйлер выбрал так, чтобы логарифмы были по Эйлеру, а не д'Аламберу, за что д'Аламбер на него заимел большой зуб.
В результате все элементарные операции дифференцируются линейно. Разумеется, можно изобретать нелинейное дифференцирование, но в недоанализе оно вообще бессмысленно, а в анализе бесконечно малых просто сведётся к линейному: это всё равно, что вместо касательной прямой строить касательную кривую.

Поэтому сейчас dx и dy определяются не как бесконечно малые, а как линейные части приращений, что менее наглядно, но более строго.
Но если разложить приращение нелинейной функции в ряд, то видно, что с уменьшением приращения нелинейные части убывают быстрее, чем линейные, так что при предельном переходе остаются только линейные.

что

Что доказывается или постулируется, Вы что? Постройте график ф-ции x*sin(1/x) и посмотрите на него в окрестности нуля.

Доказывается другое - что десяток "простых" ф-ций типа sin являются "хорошими", и что при сложении/умножении/композиции и тп "хорошесть" сохраняется, за исключением особых случаев.