На чём строится математика и физика, как вводится их связь с реальным миром и как она доказывается?

Математика строится на аксиомах и правилах выполнения операций. Для аксиом не то чтобы "доказательство не требуется" - это положения, которые считаются истинными без доказательства этого. Тут есть некоторая смысловая разница.. . А дальше чистая логика: ЕСЛИ заданы исходные положения А, В, С, и ЕСЛИ определены правила, которые можно применять к этим исходным положениям, - ТО из этих положений и этих правил следуют выводы Т1, Т2, и так далее. Так что в математике всё зависит от выбора аксиом и выбора правил. Пример с аксиомой параллельности Эвклида хорошо это иллюстрирует: выбор ДРУГОЙ аксиомы приводит к созданию ДРУГОЙ геометрии (Лобачевского или Римана) .
Границы применимости определяются лишь тем, сохраняют ли силу принятые аксиомы и правила в конкретных условиях. Вот та самая аксиома параллельности: для небольших участков РЕАЛЬНОГО (на практике) землемерия - что и есть "геометрия" в прямом переводе - она вполне применима. Но как только мы утыкаемся в шарообразность Земли - привет, мы уходим от условий справедливости аксиомы (которая относится к ПЛОСКОСТИ) и приходим к условиям геометрии Римана (которая как раз работает на сфере) .

С физикой всё несколько иначе. Физика основана на ЭКСПЕРИМЕНТЕ. Это сначала ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО определяется, что ускорение пропорционально силе, или что сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, или что эдс пропорциональна скорости изменения магнитного потока, или что скорость света не зависит отвыбра системы отсчёта. И уж ПОТОМ, основываясь на огромном массиве экспериментальных данных и С ПОМОЩЬЮ математики, под установленные физические законы подводится математический аппарат. Подчас довольно изощрённый. И именно совпадение предсказаний теории с результатами экспериментальных проверок и определяется - подходит данная теория под реальный мир или нет. Вот теория эфира в итоге не подошла, как и теория флогистона, или теория излучения Рэлея-Джинкса, да мало ли какие ещё теории.. .

И с границами применимости там другой подход: это зависит от требуемой или достижимой точности измерений, или же на относительной величине эффекта, даваемого одной теорией по сравнению с другой, "менее строгой". Скажем, на малых скоростях вполне удовлетворительно работает механика Ньютона и закон сложения скоростей Галилея. Но как только мы переходим к сравнительно высоким скоростям, или как только мы начинаем измерять с высокой точностью (порядка 10 в -9), - мы утыкаемся в ограничения одних физических теорий и вынуждены использовать другие - механику Эйнштейна. Даже такая простая и обычная сейчас вещь, как навигаторы, без учёта поправок ОТО не работали бы.

Но что важно понимать - что и там, и там действуют строгие математические закономерности. Просто "более строгая" теория - скажем, механика Эйнштейна - при "обычных условиях" даёт результаты, крайне мало отличающиеся от тех, что получаются из "более простых" теорий, так что этим отличием на практике можно пренебречь.

Физика и есть математическая модель реального мира. Проверяется совпадением результатов наблюдений и экспериментов с результатами, выдаваемыми математическими моделями.
Математика строится на начальных аксиомах, доказательство которых не требуется. Из всех наборов аксиом и выводимых из них теорем выбираются те, которые дают результаты, совпадающие с экспериментами или по крайней мере близкие к ним.
Математика - это наука об операциях с символами. Физики находят соответствие символов и операций с ними с реальными объектами и их взаимодействиями. По известному сравнению, математика шьет разнообразные одежды, а физика примеряет их к реальному миру и отбирает подходящие.

В качестве дополнения к предыдущим ответам.

Физика строится на наблюдениях, на эксперименте. Математика изначально тоже строилась на наблюдениях, но абстрактная математика строится на аксиомах (впрочем, как и физические теории в рамках аксиоматического подхода) . Связь физики с реальным миром не доказывается, а проверяется. Причем заранее известно, что любая физическая теория - лишь приближённая модель и в строгом смысле не точна. Чистая математика на этапе построения вообще может быть оторвана от реального мира.

И математика не введена в основания физики. Основания физики - эксперимент. А математика - язык физики, способ описания результатов, обеспечивающий сравнимость при повторении экспериментов (иначе знания не имели бы большой практической ценности).