Зачем в математике (частности физике) введено понятие потока?

Так исторически сложилось в старину ещё при рассмотрении тепловых явлений. В то время главенствовала теория "теплорода", некоей жидкости, которая перенося теплоту, переливается из тела в тело. Отсюда возникла терминология, связанная с потоками.

Потом теория теплорода устарела, но терминология не только осталась, но и проникла в другие области физики.

Критикуешь - предлагай, чем заменить.
Понятие "поток" очень удобное и понятное.
В программировании тоже введены потоки данных и потоки вычислений.

Плотность потока некоторой величины показывает интенсивность "течения" некоторой величины в пространстве и его направление (рассматривались течения тепла, вещества, электрического заряда...), и во многих теоретических и прикладных задачах стало необходимо вычислять (или уметь вычислять), сколько этого самого "течения" проходит сквозь какую-то поверхность. Как для любой частой и естественной фигни, для этого закрепилось свое название - поток. Сначала векторными полями, для которых вычислялись потоки, были поля скоростей течения жидкости и всякое подобное, но когда в обиход вошли физические поля, понятие потока естественным образом распространилось и на них.

Это первый набросок, как и направление электр. тока. Тогда ещё не знали, что двигаются отрицательные частицы, и теперь это выглядит абсурдно. Так и с полями, хотя, там нет никакого потока, там только волны определенной сверхчастоты и фазы.

Термин "поток" ввели во времена Фарадея, чтоб объяснить расположение магнитных стрелок в горизонтальной плоскости по окружности.вокруг вертикального провода с током

Ну, например, сила тока (скалярная величина) - это поток векторного плотности тока через попереченое сечение проводника.
Полноводность реки определяется величиной расхода воды (в кубометрах в секунуду), расход воды - поток векторного поля скоростей точек воды через поперечное сечение реки.
Сумма зарядов (с учетом знаков, т.е. алгебраическая) внутри замкнутой поверхности пропорциональна потоку электрического поля (рассматриваемого как векторное поле напряженностей) через эту поверхность.
А вот скорость накопленения людей в роддоме не пропорциональна потоку людей через проходную.

Ну попробуй описать любую непрерывную среду, или поле, которая (которое) содержит в себе переносит и передаёт какой-либо вид энергии без понятия потока этой энергии! особенно если ты ведешь расчёт упрощенно - в интегральной форме. Может тогда и вопрос такой у тебя не возникнет?

чтоб жизнь медом не казалась