Стержень массой 200 г согнули посередине под углом 120 градусов и подвесили на нити, привязанной к точке сгиба.

С учетом последней версии задачи, там, где стержень согнут под углом 90 градусов.

В условии: "...и подвесили на нити, привязанной к точке сгиба."
А у вас на рисунке нить привязана к одному из концов!

Если следовать условию (нить привязана к точке сгиба), то никаким грузиком не добиться того, что требуется - свободная от грузика половинка стержня оттянет в сторону от вертикали ту половинку, которая с грузиком.

А где нарушена симметрия, чтобы подвесить дополнительный груз, притом "на другом " конце?

1. Откуда взялся прямой угол?
2. Какая из половин нижняя?

дополним ломанную АВС третьей стороной АС имеющей такую же линейную массу m0=M/l как и стороны АВ и ВС. у такого треугольного каркаса, подвешенного за вершину А, линия отвеса проходит через центр тяжести и середину стороны ВС (совпадает с медианой угла А). но точно так же ведет себя линия отвеса и в описанной в задаче системы, следовательно момент силы mg такой же как и момент силы m1g, где m1 - масса стороны каркаса АС. найдем ее. m1=m0*L (1), где L=l*√2/2 (2) - длина стороны АС. центр тяжести АС находится посредине, следовательно плечо х силы mg в 2 раза больше плеча силы m1g. из равенства моментов mgx=m1g*x/2, следует m=m1/2 и с учетом (1) и (2) имеем m=√2M/4.

Ты левша чтоли, тульский?