Естественные науки
Простенькая задачка из аналитической геометрии.
Луч света, проходящий через т. (2; 3) отражается от пр. x+y+1=0 и проходит через т. (1;1). Найти уравнения падающего и отраженного лучей.
5x - 4y + 2 = 0
4x - 5y + 1 = 0
Устная задача.
Указание. А (1; 1), В (2; 3), исходная прямая р.
1. Найди точку С, симметричную А относительно р.
2. Падающий луч на прямой ВС.
3. Найди точку М пересечения р и ВС.
4. Отраженный луч на АМ.
4x - 5y + 1 = 0
Устная задача.
Указание. А (1; 1), В (2; 3), исходная прямая р.
1. Найди точку С, симметричную А относительно р.
2. Падающий луч на прямой ВС.
3. Найди точку М пересечения р и ВС.
4. Отраженный луч на АМ.
ответ удалила, сейчас переделаю
Пух Лёха
83 606
уравнение падающей прямой имеет вид (проходящей через точку (2,3) )
y=k1*(x-2)+3
уравнение отраженной прямой имеет вид (проходящей через точку (1,1) )
y=k2*(x-1)+1
пусть минимальный угол между первой прямой и прямой x+y+1=0 равен А
тогда
k1=tg(3*pi/4-A)=ctg(pi/4-A)
k2=tg(pi/4-A)=1/k1
решаем систему уравнений:
y=k1*(x-2)+3
y=(1/k1)*(x-1)+1
x+y+1=0
из которой находим значение k1=4/5 и точку пересечения падающей и отраженной прямых.
таким образом,
уравнение падающей прямой имеет вид
y=(4/5)*(x-2)+3
уравнение отраженной прямой имеет вид
y=(5/4)*(x-1)+1
y=k1*(x-2)+3
уравнение отраженной прямой имеет вид (проходящей через точку (1,1) )
y=k2*(x-1)+1
пусть минимальный угол между первой прямой и прямой x+y+1=0 равен А
тогда
k1=tg(3*pi/4-A)=ctg(pi/4-A)
k2=tg(pi/4-A)=1/k1
решаем систему уравнений:
y=k1*(x-2)+3
y=(1/k1)*(x-1)+1
x+y+1=0
из которой находим значение k1=4/5 и точку пересечения падающей и отраженной прямых.
таким образом,
уравнение падающей прямой имеет вид
y=(4/5)*(x-2)+3
уравнение отраженной прямой имеет вид
y=(5/4)*(x-1)+1
Ангелина Белая
53 831
1. Точка (2;3) принадлежит прямой y=x+1. Значит это и есть точка отражения
2. Падающий луч как и отражённый имеют линейные функции, то есть y = kx+b.
Найдём k и b для отражённого луча. k = dy/dx = (1-3)/(1-2) = -2/-1 = 2. посчитаем b подставив известные значения в уравнение y = kx+b. 1=2*1+b; b = -1. Значит уравнение функции отражённого луча y = 2x-1
3. Вообще всё дальше должно быть сложно... но у нас очень удобная функция от которой мы отражаем. При отражении от неё производная отражённой функции зависит от исходной как k2 = 1/k1. отсюда k2 = 1/2
подставим известные значения что бы найти b
3 = 1/2*2+b
b=2
y = x/2+2
Итак, уравнение падающего луча y = x/2+2, а уравнение отражённого y = 2x-1
2. Падающий луч как и отражённый имеют линейные функции, то есть y = kx+b.
Найдём k и b для отражённого луча. k = dy/dx = (1-3)/(1-2) = -2/-1 = 2. посчитаем b подставив известные значения в уравнение y = kx+b. 1=2*1+b; b = -1. Значит уравнение функции отражённого луча y = 2x-1
3. Вообще всё дальше должно быть сложно... но у нас очень удобная функция от которой мы отражаем. При отражении от неё производная отражённой функции зависит от исходной как k2 = 1/k1. отсюда k2 = 1/2
подставим известные значения что бы найти b
3 = 1/2*2+b
b=2
y = x/2+2
Итак, уравнение падающего луча y = x/2+2, а уравнение отражённого y = 2x-1
Сергей Сергеев
42 958
Александр Мехонцев
Бредятина.
Сергей Сергеев
со знаком "y" при переносе ошибся
-x-1 = y, тогда точка (2,3) не принадлежит этой прямой.
в таком случае надо найти точку отражения. Как и описано в пункте 3, падающий и отражённый лучи будут иметь производные k1 = 1/k2
отсюда k*x+b1 = x/k+b2 = -x-1 (место пересечения всех трёх функций)
b1 = 3-k*2
b2 = 1-1/k
kx+3-2k = x/k+1-1/k = -x-1
итак, наша система
kx+3-2k = -x-1
x/k+1-1/k = -x-1
kx+x = 2k-4; x*(k+1) = 2k-4; x = (2k-4)/(k+1)
(2k-4)/((k+1)*k)+1-1/k = -(2k-4)/(k+1)-1
(2k-4)/k+(k+1)-(1+1/k) = -(2k-4)-(k+1)
2k-4+k^2+k-k-1=-2k^2+4k-k^2-k
4k^2-k-5=0
D=1+80=81
k1=(1-9)/8=-1 // побочное решение
k2=(1+9)/8=5/4
y1=5/4*x+3-2.5 = 1.25x+0.5
y2=4/5*x+1-0.8 = 0.8x+0.2
-x-1 = y, тогда точка (2,3) не принадлежит этой прямой.
в таком случае надо найти точку отражения. Как и описано в пункте 3, падающий и отражённый лучи будут иметь производные k1 = 1/k2
отсюда k*x+b1 = x/k+b2 = -x-1 (место пересечения всех трёх функций)
b1 = 3-k*2
b2 = 1-1/k
kx+3-2k = x/k+1-1/k = -x-1
итак, наша система
kx+3-2k = -x-1
x/k+1-1/k = -x-1
kx+x = 2k-4; x*(k+1) = 2k-4; x = (2k-4)/(k+1)
(2k-4)/((k+1)*k)+1-1/k = -(2k-4)/(k+1)-1
(2k-4)/k+(k+1)-(1+1/k) = -(2k-4)-(k+1)
2k-4+k^2+k-k-1=-2k^2+4k-k^2-k
4k^2-k-5=0
D=1+80=81
k1=(1-9)/8=-1 // побочное решение
k2=(1+9)/8=5/4
y1=5/4*x+3-2.5 = 1.25x+0.5
y2=4/5*x+1-0.8 = 0.8x+0.2
Ангелина Белая
"1. Точка (2;3) принадлежит прямой y=x+1. Значит это и есть точка отражения"
с чего это вдруг?
Точка (2;3) - принадлежит бесконечному числу прямых линий
с чего это вдруг?
Точка (2;3) - принадлежит бесконечному числу прямых линий
Похожие вопросы
- Помогите решить задачку по аналитической геометрии
- помогите решить задачу по Высшей математике, тема: Аналитическая геометрия
- задача по аналитической геометрии, помогите пожалуйста
- Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей по аналитической геометрии
- решите простенькую задачку по химии!
- Помогите с простенькой задачкой по физике)
- Общий вопрос про задачи по аналитическим предметам (математика, физика, геометрия)
- Интересная задачка по геометрии
- Люди, помогите решить задачку по геометрии! Полугодовая оценка решается!
- Помогите с задачками по геометрии пожалуйста...
найдем расстояние от точек до прямой:
х+у+1=0
нормаль=(1;1)
ее длина= √2
нормальное уравнение прямой: х/√2 + у/√2+1/√2=0
расстояние от (1;1) до прямой=(1/√2 + 1/√2+1/√2)=3/√2
расстояние от (2;3) до прямой=(2/√2 + 3/√2+1/√2)=6/√2
расстояние от второй точки вдвое больше.
2) проводим перпендикуляр к прямой между точками таким образом, чтобы расстояние от точки (1;1) до перпендикуляра было в два раза меньше, чем расстояние от точки (2;3) до перпендикуляра.
для этого проводим перпендикуляр к прямой через эти точки
(х-1)/1=(у-1)/1, после упрощения у=х
(х-2)/1=(у-3)/1, после упрощения у=х+1
и берем такую прямую:
2(у=х) +
+(у=х+1)
3у=2х+1
у=х+1/3
3) ищем точку пересечения этой прямой и х+у+1=0
(-2/3; -1/3)
(-2/3; -1/3) и (1;1)
(х-1)/(1+2/3) = (у-1)/(1+1/3)
после упрощения
(х-1)/5 = (у-1)/4
(-2/3; -1/3) и (2;3)
(х-2)/(2+2/3) = (у-3)/(3+1/3)
после упрощения
(х-2)/8 = (у-3)/10
Для этого и пункт 1- мы находим длины "длинных" катетов, лежащих на перпендикулярах.
В пункте 2 мы, по сути, разбиваем отрезок данной прямой, лежащий между перпендикулярами, в соотношении 1 к 2, чтобы маленькие катеты тоже относились, как и большие.
Тем самым мы получаем подобные треугольники.
потому больше ничего не объясняю- ты ведь и так её в уме сделал?)))))
1) перпендикуляр к прямой х+у+1=0 из точки (1;1) : у=х.
2) пересечение этих прямых:
(-1/2;-1/2)
3) симметричная точка:
(1;1)+ 2*(-1/2-1;-1/2-1)= (-2;-2)
4) прямая через точки
(-2; -2) и (2;3)
(х-2)/(2+2) = (у-3)/(3+2)
после упрощения
(х-2)/4 = (у-3)/5
отраженный луч можно найти аналогично.
а можно найти точку пересечения падающего с осью симметрии.