Сумма двух крайних первых шести членов геометрической прогрессии равна 33, а сумма средних членов 12.

Тьфу. Так сумма первых шести, или сумма двух крайних из первых шести?

Подсказываю, а решай сам:
Случай 1: Сумма первых шести равна 33:
В действительных числах такой геометрической прогрессии не существует. Задача сводится к решению биквадратного уравнения - просто сведи ее.

Случай 2: Сумма двух крайних из первых шести членов равна 33. Здесь полезно вспомнить формулу сокращенного умножения "сумма нечетных степеней".
Задача легко сводится к возвратному уравнению 4-й степени, а оно тоже легко сводится к квадратному. Вылезет два случая: q = 2 и q = 1/2.

по условию а1+а6=a1+a1q^5=a1(1+q^5)=33 (1) и a3+a4=a1q^2+a1q^3=a1q^2(1+q)=12 (2). распишем скобку в (1) как сумму пятых степеней (1+q^5)=(1+q)(1-q+q^2-q^3+q^4). подставим это в (1) и полученное разделим на (2), получаем (1-q+q^2-q^3+q^4)/q^2=33/12, отсюда 12q^4-12q^3-21q^2-12q+12=0 (3). разделим (3) на q^2 и сгруппируем 12(q^2+1/q^2)+12(q+1/q)-21=0 (4). сделаем замену переменной (q+1/q)=t (5), тогда t^2=q^2+2+1/q^2 и (q^2+1/q^2)=t^-2 (6). подставляя (5) и (6) в (4) имеем 12t^2+12t-45=0. корни этого квадратного уравнения равны t1=15/6, t2=-3/2. из (5) q^2-tq+1=0 (7), т. е. подставляя найденные t можно найти q. t2 отбрасываем, т. к. при t=-3/2 в уравнении (7) D<0 и корни мнимые. при t=15/6 имеем q^2-15q/6+1=0. корни этого уравнения q1=2, q2=1/2. подставляя это в (1) получаем а1(1)=1, а1(2)=32. итак при заданных условиях может быть две геометрические прогрессии: возрастающая с а1=1, q=2, вот такая 1, 2, 4, 8, 16, 32, ..и убывающая с а1=32, q=1/2, вот такая 32, 16, 8, 4, 2, 1, ..сумму первых четырех членов найдите сами, или по формуле или посчитав непосредственно . ответ S1=15, S2=60.

Решил сначала по формулам посчитать. Потом не захотел заморачиваться.
Решил подбором. Пусть прогрессия возрастающая. Сразу видно: 1; 2; 4; 8; 16; 32.
1+32=33. 8+4=12.
Все сходится.
1+2+4+8 = 15.