Больному предстояла очень сложная, рискованная операция. Он сильно волновался. Хирургу же - хоть бы хны...

Вероятность успешного исхода не зависит от предыдущих результатов, и остается 1/100.
Хорошо это прослеживается на бросании монетки: сколь ни бросай, а орел и решка выпадают 50 на 50, вследствие чего смена сторон происходит также одинаково часто, как и двойное повторение. А вот количество выпадений подряд 3 и более повторов убывает в экспоненциальной зависимости.

Такого врача и близко нельзя допускать до больного
оптимизм врача понятен - он пьян

99%.

Вспомнилась шутка в тему. Летят как-то два математика в самолёте, и один другому говорит - "я вот раньше летать боялся, а потом посчитал, что вероятность наличия бомбы на борту всего 0,0001 %, и больше не боюсь!". А второй ему отвечает - "я тоже раньше боялся, а потом посчитал, что вероятность найти ДВЕ бомбы на борту вообще 0,00000001%, поэтому одну всегда вожу с собой!". Вот тут в общем-то та же ерунда...

Врач правильно всё делает.

Если по статистике каждый сотый пациент выживает, и было прооперировано уже 5000 человек и все с летальным исходом, то мы можем сказать, что плотность успешных исходов должна повыситься, иначе мы получим значительное отклонение от статистики. Исходя из этого я оценил бы вероятность положительного исхода более высоко. Но только формула такого подсчёта была бы сложной, ведь надо учесть распределение вероятностей по отклонению от прогнозируемого значения, и перемножить с вероятностями успешного исхода для каждого варианта отклонения (то есть тут получим произведение интегралов). Но при описанном мной варианте вероятность уже вырастет значительно.

Если же говорить про каждого сотого выжившего и 99-ью операциями за плечами, то если сотый случай не окажется успешным, мы получим настолько мизерное отклонение от ожидания, что им можно пренебречь... то есть в описанном Вами случае я бы рассчитывал всё на тот же 1% успеха.

P.S. Я не математик пока ещё, потому опирался больше на интуитивное понимание вопроса. Разумеется мог ошибиться. Если случайным образом бросить на стол 100 монеток, и добиться варианта, когда первых 50 из них выпали вверх орлом, то вероятность при случайном выборе одной монетки из 50 оставшихся получить решку вырастет. Потому что вариант выбросить 75 орлов и 25 решек очень маловероятен, и намного более вероятно, что орлов 65, а решек 35, но они распределены неравномерно :))

Вероятность смерти пациента не изменится и будет составлять 99%. А счастливый исход всего 1%.
Статистика применяется как метод вычисления вероятности, но при этом вероятность события при каждом повторении сохраняется. Исход события каждый раз корректирует вероятность.

На самом деле типичная задача с недостаточными условиями. Если успех операции не зависит от хирурга, значит у данного пациента шансы 1% и никак не связана с предыдущими неудачами хирурга. Если вероятность привязана к хирургу (т. е. в среднем у каждого хирурга 1% операций успешны), то тут поток случайных событий и вероятность положительного исхода - 63%.