Почему электроны в металлической решетке двигаются?

Вы изобразили классическое представление о строении проводников. К истинному положению вещей эта картина имеет такое же отношение, как первое приближение к правильному ответу.
Но даже в этой - весьма грубой - картине нет того противоречия, о котором вы пишете: ведь в данной электростатической системе равновесие электрона не является устойчивым. Таким образом, ничто не мешает ему так или иначе перемещаться.

Законы Ньютона применимы только для макрообъектов.
А электроны движутся всегда и постоянно.
"Тормознуть" электрон (снизить его кинетическую энергию почти до нуля), насколько я помню, удалось всего несколько лет назад и очень ненадолго.
Поэтому в твоей формулировке вопрос не имеет смысла.
А спрашивать надо было примерно так: что позволяет ионам в кристаллической решетке металлического типа обмениваться электронами.
А происходит это из-за слабых связей между ядрами и электронами внешнего уровня. Ионы как бы плавают в электронном газе.

Атомы соединены в кристаллическую решётку и, поэтому, уравновешены. Электроны, хоть и с помехами, но двигаются.

Капли на стекле видел? Когда на сухом - это изолятор. Вода не течёт. А когда мокрое... Так же и электрончики

Металлическая связь образуется путем обобществления ВАЛЕНТНЫХ электронов. Т. е. не всех электронов, а только находящихся на внешнем уровне.
И это теория, а как там на самом деле на микроуровне происходит - пока никто не видел...