Друзья, такой вопрос: есть набор чисел с погрешностями, я хочу вычислить их среднее значение. Как это сделать?

суммировать результаты измерений с такой вариацией отн. погрешностей...
хм...
это явный перебор.
любопытно, откуда вообще взялось такое желание
"вычислить среднее значение набора чисел с погрешностями"?

ведь ни общепринятого способа расчётов, ни мало-мальски годной интерпретации результата вычислеий нету.

Особенно
5±4 - это же явный ПРОМАХ.
такие результаты принято отбрасывать.
иначе учитывай весь набор именно с этой максимальной ошибкой в 80%.
Получится
(15 + 5 + 22 + 12) / 4 = 13,5
13,5 * ,8 = 10,8
ответ 14±11.
при этом значение 5-4=1 в интервал не попадает.
поскольку расчёт недопустимый.
задача проверку на несуразность не прошла.

1.Предыд. ответ неверен в плане речи об обязательности отбрасывании таким образом определяемых "промахов".
В научных исследованиях вполне может встретиться не то что 5±4, но и 1±1000 или 0±10.
Отбрасывать разумно только при наличии априорной инфы о существенной вероятности малодостоверных данных, которые при этом (а так вовсе не всегда) имеют погрешности существенно бОльшие средних.

2.В данном случае разумно говорить не о (просто) усреднении, а об усреднении с весами (о средних арифметических взвешенных), причем с весами, учитывающими погрешности.

x_среднее = (1/сумма_весов) *sum(i=1,n)вес_i*x_i,
где
вес_i=1/σ_i²,
сумма_весов=sum(i=1,n)вес_i.

При этом, ЕСЛИ погрешности не систематические, то
погрешность_x_среднего = 1/√(сумма_весов).

При этом существует так называемый критерий χ² ("хи-квадрат"), который, в частности, показывает, насколько набор x_i статистически "хорош".
χ²=sum(i=1,n)(x_i-x_среднее) ²/σ_i².
Для критерия χ² в общем случае существует понятие числа степеней свободы. Для нашего случая - усреднения величин независимых измерений - оно просто равно числу измерений. Если, как чаще всего, погрешности измерений распределены по Гауссу, то χ² имеет распределение, которое так и наз. "распределение хи квадрат" (обозначается как χ²(n) или χ²_n; другое название - распределение Пирсона). Его (интегральная) функция распределения выражается через трансцендентные функции, в связи с чем в литературе имеются удобные для использования представления в виде графиков.
Вычислив χ², можно по этим графикам определить, не является ли χ²(n) нетипично малым или нетипично большим для "хорошего" набора x_i, т. е. не попадает ли значение χ²(n) в левые или правые ~5% распределения. В "хороших" случаях значения χ²(n) группируются вокруг n.

Ссылки:
pdg.lbl.gov/2017/reviews/rpp2017-rev-statistics.pdf
(- формула (40.8) (усреднение); рис. (40.1) (χ²)).
Следует иметь в виду, что pdg.lbl.gov - САМЫЙ АВТОРИТЕТНЫЙ В МИРЕ ОБЗОРНЫЙ РЕСУРС ПО ФИЗИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ И СОПУТСТВУЮЩИМ ВОПРОСАМ.

ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_хи-квадрат

В данном случае:
x_1=15, x_2=5, x_3=22, x_4=12,
σ_1=7, σ_2=4, σ_3=4, σ_4=5,
вес_1=1/49, вес_1=1/16, вес_1=1/16, вес_1=1/25,
сумма_весов≈0.185401,
x_среднее ≈ (1/0.18541)*((1/49)*15+(1/16)*5+(1/16)*22+(1/25)*12)
≈ 13.34151,
погрешность_x_среднего ≈ 1/√(0.18541) ≈ 2.32238,
χ²(4) ≈
((15-13.34151)/7)²+((5-13.34151)/4)²+((22-13.34151)/4)²+((12-13.34151)/5)²
≈ 9.163;
по графику распределения χ²(4) (рис. (40.1) в первой ссылке) видим, что значение χ² в ~6.5% случаев бывает больше, чем χ² для данного случая. Т. е. делаем вывод, что обрабатываемый набор x_i статистически "хорош".

1+-7/15, 1+-4/5,...относительна погрешность = корень квадратный от (суммы квадратов погрешностей/(N^2-1)) среднее+абсолютная погрешность = среднее*(1+-((7^2/15^2+4^2/5^2....)/15)^0,5)