Чем оператор отличается от функционала, а тот - от функции? И к чему сей плюрализм?

Тут в разных разделах могут быть разные трактовки. Я вам самые распространённые правила напишу.
Функция: то, что преобразует число в число. Пример: y = sin(x).
Оператор: то, что преобразует функцию в функцию. Пример: оператор дифференцирования d[sin(x)]/dx = cos(x).
Функционал: то, что преобразует функцию в число. Пример: определённый интеграл, ну тут сами напишите.

В разных учебниках могут давать слега отличающиеся определения, но суть простая, живая, которую легко понять, если знать эволюционную теорию Дарвина.
1)Функция съедает одно число на входе, возвращая другое на выходе. (Считайте функции растениями).
2)Функционал съедает функцию, иногда он это делает не один, а ему помогают параметры. При этом на выходе опять получается число. В этом смысле определенный интеграл Римана можно назвать функционалом. На входе два числа и одна функция, а на выходе, опять число. (Это отряд хищников в математике).
3)Оператор превращает одну функцию в другую, например оператор Фурье. Пришла одна функция (зависимость сигнала от времени), а ушла другая (частотный спектр). (Это уже целая экосистема, с точки зрения дарвинизма).
Я не претендую на полноту ответа, но некоторая наглядная картинка должна сформироваться.

По-моему, вы уже про это спрашивали.
Природа оператора в конечномерном пространстве - матрица. Природа функционала - вектор.
Функция - слишком широкое понятие. Которое сбивает с толку тогда, когда объектами, между которыми устанавливается функциональная связь, являются тоже функции.