Как вы считаете, обязательно ли будут разрывными следующие функции?

В случае а) сумма будет всегда разрывна в точке разрыва разрывной функции. Это нужно доказывать. а не пример приводить. Ход доказательства - прост: Сумма двух непрерывных функций всегда функция непрерывная. Соответственно и разность непрерывных функций - непрерывна. Если считать, что сумма рассматриваемых функций вдруг функция непрерывная - то если из этой суммы вычесть непрервынуюю функцию f мы должны получить непрерывность функции g - а это противоречие.. . А вот в случае б) сумма может быть и разрывной функцией и неразрывной функцией. и тут можно приводить примеры. они тривиальны: f такая, что везде кроме а - единица, в а - 0; g такая, что везде 0, но в а - единица. Их сумма дает функцию - везде единица.. . Или пусть f и g тождественно равны и такие, что веэде они единица, но в а - ноль. тогда их сума везде кроме а двойка, но в а - ноль

а) сумма разрывна, например, x+1/(x-a);

б) сумма может быть непрерывной, например,
[x] +(-[x]), где [x] означает целую часть х.

а) ф (х) =х; Г (х) =1:х Разривная при х=о. Ф (х) +г (х) =(х+1):х, тоже разрывная. при х=0
б) Ф (х) =2:х ;Г (х) =1:х Ф (х) +Г (х) =3:х. разрывная, при х=о