Пусть сторона равновеликого квадрата равна R, заданная сторона равна c.
Высота, проведенная к заданной стороне с или её продолжению, равна h = R^2/(2с) - строим ее при помощи т. Фалеса о пропорциональных отрезках.
Далее http://5terka.com/node/8993, подпункт a), там "красивое" спортивное решение без всяких тяжеловесных формул.
Естественные науки
Как построить циркулем и линейкой треугольник по стороне, противолежащему углу и стороне равновеликого квадрата?
Решения не нашёл (сказать "пока" как-то не осмеливаюсь), но думаю, начало должно быть такое.
Пусть А - известный угол, а - известная сторона, противолежащая А, е - известная сторона равновеликого квадрата.
1) Построим отрезок р, равный а/sinA. Для этого на какой-то стороне угла А отмечаем произвольный отрезок АС'= с', из точки С' опускаем перпендикуляр С'Н'= h' на другую сторону угла. Поскольку h'/c'= sinA, то a/sinA= a:(h'/c')= p. Отсюда a:h'= p:c'. А как построить из пропорции отрезок p при известных a, h' и c', в общем известно.
2) Можем написать 4 уравнения:
bcsinA/2= e^2 (1)
b/sinB= p (2)
c/sinC= p (3)
A+B+C+ 180o (4).
Неизвестных тоже четыре: b, c, B и C. Вот теперь требуется мастерство, чтобы решить эту систему графически, как можно проще.
Пусть А - известный угол, а - известная сторона, противолежащая А, е - известная сторона равновеликого квадрата.
1) Построим отрезок р, равный а/sinA. Для этого на какой-то стороне угла А отмечаем произвольный отрезок АС'= с', из точки С' опускаем перпендикуляр С'Н'= h' на другую сторону угла. Поскольку h'/c'= sinA, то a/sinA= a:(h'/c')= p. Отсюда a:h'= p:c'. А как построить из пропорции отрезок p при известных a, h' и c', в общем известно.
2) Можем написать 4 уравнения:
bcsinA/2= e^2 (1)
b/sinB= p (2)
c/sinC= p (3)
A+B+C+ 180o (4).
Неизвестных тоже четыре: b, c, B и C. Вот теперь требуется мастерство, чтобы решить эту систему графически, как можно проще.
Talgat Karlygash Асарбековы))
У меня примерно такое же решение, хотя и в несколько ином виде.
Продолжение такое.
3) Из первого уравнения можем выразить bc.
4) Второе и третье - перемножаем, получаем bc / (sinB*sinC) = p^2. bc известно, p - тоже известно. Значит известно произведение sinB*sinC. Обозначим его через q.
5) Преобразуем произведение синусов в разность:
sinB*sinC = (1/2)*cos(B - C)*cos(B + C). Поскольку B+C = 180o - A, то по формуле приведения cos(B + C) = -cosA. Остаётся зависимость от B - C. Определяем её.
6) Зная B - C и B + C находим сами B и С.
Дальше тривиально.
Продолжение такое.
3) Из первого уравнения можем выразить bc.
4) Второе и третье - перемножаем, получаем bc / (sinB*sinC) = p^2. bc известно, p - тоже известно. Значит известно произведение sinB*sinC. Обозначим его через q.
5) Преобразуем произведение синусов в разность:
sinB*sinC = (1/2)*cos(B - C)*cos(B + C). Поскольку B+C = 180o - A, то по формуле приведения cos(B + C) = -cosA. Остаётся зависимость от B - C. Определяем её.
6) Зная B - C и B + C находим сами B и С.
Дальше тривиально.
Nataliy Savrasova
Продолжение:
3) Деля (2) на (1), находим: 2e^2= pcsinAsinB; учитывая здесь psinA= a, csinB= (psinC)sinB= (psinB)sinC= bsinC, далее находим: 2e^2= absinC или bsinC= 2e^2/a. Нетрудно убедиться что отрезок bsinC, которую нетрудно построить, это высота ha треугольника АВС, проведённая из вершины А на сторону ВС= а.
4) Чертим известную сторону ВС= а и проведём прямую, параллельную ей и отстоящую от неё на расстоянии ha= 2e^2/a. Вершина А находится находится на этой прямой и "смотрит" на сторону ВС под углом А.
5) Из точек В и С проводим лучи (в сторону упомянутой параллельной линии) под углом 90о-А к стороне ВС. Точку пересечения лучей обозначим через О.
6) Из точки О, как из центра, проводим окружность радиусом ОВ= ОС. Точки пересечения окружности... (Оконч. следует.)
3) Деля (2) на (1), находим: 2e^2= pcsinAsinB; учитывая здесь psinA= a, csinB= (psinC)sinB= (psinB)sinC= bsinC, далее находим: 2e^2= absinC или bsinC= 2e^2/a. Нетрудно убедиться что отрезок bsinC, которую нетрудно построить, это высота ha треугольника АВС, проведённая из вершины А на сторону ВС= а.
4) Чертим известную сторону ВС= а и проведём прямую, параллельную ей и отстоящую от неё на расстоянии ha= 2e^2/a. Вершина А находится находится на этой прямой и "смотрит" на сторону ВС под углом А.
5) Из точек В и С проводим лучи (в сторону упомянутой параллельной линии) под углом 90о-А к стороне ВС. Точку пересечения лучей обозначим через О.
6) Из точки О, как из центра, проводим окружность радиусом ОВ= ОС. Точки пересечения окружности... (Оконч. следует.)
Nataliy Savrasova
...с упомянутой параллельной прямой и будут два равнозначных положения точки А (просто "зеркальные" точки). Построение завершено. Доказательство верности последнего построения оставляю читателю.
Как оказалось, в п. 1 - построении отрезка р - нужды не было.
Как оказалось, в п. 1 - построении отрезка р - нужды не было.
Задачу эту разбейте на две
1) про первую вам написали
построить треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной к этой стороне
Построить квадрат, равновеликий заданному треугольнику
Все это можно найти в И-нете, только сообразить!!! нужно, как состыковать...
Задача уровня олимпиады, смысл самому не решать...
1) про первую вам написали
построить треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной к этой стороне
Построить квадрат, равновеликий заданному треугольнику
Все это можно найти в И-нете, только сообразить!!! нужно, как состыковать...
Задача уровня олимпиады, смысл самому не решать...
Iskendir Kurishbaev
83 643
Похожие вопросы
- Дан угол. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить угол, который больше заданного в корень из двух раз?
- Можно ли при помощи циркуля и линейки построить угол 10 градусов?
- Я на эгзамене по мат. Как построить отрезок длиной (√13 -1)е. С помощью циркуля и линейки
- как при помощи циркуля и линейки разделить окружность на 7 равных частей (линейку можно только проводить линии)?
- Как найти середину отрезка с помощью циркуля и линейки?
- скажите вы можете от мерить число sqrt (7) на прямой линии, с циркулем и линейкой ?
- у вас есть циркуль и линейка без делений. Как нарисовать отрезок равному данному?
- Пользуясь циркулем и линейкой,...
- Вопрос по теме создания пирамиды. Каков угол наклона сторон пирамиды с квадратным основанием?
- существует ли треугольник с тремя прямыми углами?
От тяжеловесных формул я, можете заметить, вскоре отказался, а вот "спортивное решение", кажись, действительно красивее моего. Наверняка оно годится и для случая "тупости" заданного угла - разобраться я поленился.
Нахождение высоты по Фалесу - способ стандартный и весьма удобный. Но есть и другой немалоизвестный способ. Построим прямоугольный треугольник МТК: МТ - горизонтальный катет, длиной с/2, ТК - вертикальный, "верх", длиной R. Из середины гипотенузы МК проводим к ней перпендикуляр, точку пересечения которого с МТ обозначаем через О. Принимая О за центр, проводим "верхнюю" полуокружность радиусом ОМ= ОК, которая пересекается с продолжением катета МТ в точке Р. Отрезок ТР - искомая высота. h.