Дан угол. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить угол, который больше заданного в корень из двух раз?

Можно попробовать на луче ОА построить перпендикуляр до пересечения с лучом ОВ. Затем полученный отрезок при помощи циркуля построить на ОА второй катет и соединить. В полученном прямоугольном треугольнике гипотенузу наложить на этот же перпендикуляр. Рядом построить такой же треугольник и так же поступить с полученной гипотенузой. Соединить верхние границы гипотенуз и продолжить до пересечения с лучом ОА. полученный новый угол будет почти больше угла АОВ. Его вершина будет рядом с углом О. Чем дальше строить эти гипотенузы, тем ближе вершины сблизятся. В масштабах нескольких метров Ваша задача будет полностью решена с любой погрешностью. Реально подобные задачи решаются в навигации, где реальные объекты в угловых размерах обратно пропорциональны к расстоянию к ним.

С помощью циркуля и линейки можно любой угол поделить на 2 равные части, а также и на некоторые другие числа равных частей (но НЕ на три части, это доказано 200 лет назад!). Можно, конечно, строить удвоенные, утроенные и т. д. углы.
Но так как корень из двух число иррациональное, то для умножения угла на это число пришлось бы проделать бесконечное число операций. Это не доказательство, но серьёзное соображение в пользу невозможности.

Ваша задача сводится к решению в радикалах уравнения иррациональной степени. С учетом того, что все классические задачи на построение сводятся к решению уравнений степени не выше второй, то в общем случае ваша задача неразрешима.

невозможное возможно

Нельзя!

С помощью циркуля и линейки можно любой угол поделить на 2 равные части, а также и на некоторые другие числа равных частей (но НЕ на три части, это доказано 200 лет назад!). Можно, конечно, строить удвоенные, утроенные и т. д. углы.
Но так как корень из двух число иррациональное, то для умножения угла на это число пришлось бы проделать бесконечное число операций

Угол АОЕ равен 34 градуса.

Откладываем на луче ОА произвольный отрезок ОА, на котором строим равносторонний треугольник АОВ. Тогда угол ВОА равен 60 градусов. Построим биссектрису угла ВОА - ОЕ, а значит угол АОЕ будет равен 30 градусов.

Угол ЕОД равен разности углов ЕОА и DOA 34-30=4 градуса.

4*3=12 градусов, для такого построения на луче ОD отложим произвольный отрезок OD. Проведем окружность радиусом OD и с центром в точке О.

Получим точку пересечения этой окружности с лучем ОЕ в точке Е.

Расположим одну ножку циркуля в точку Е, а другую в точку D.

Построим окружность радиусом ED и центром в точке Е.

Эта окружность даст точку пересечения F.

Построим ещё одну окружность с этим радиусом, но с центром в точке F.

Получим ещё одну точку пересечения Т.

Таким образом мы отложили три раза угол по 4 градуса.

Итого: получили угол ТОD в 12 градусов

Ответ: построить такой угол можно