Шанс какого-то события равен 10% Если попытаться выполнить его 10 раз - со 100% вероятностью это событие произойдёт?

Вероятность того, что в десяти испытаниях данное событие хоть раз произойдет: 1-0,9^10, т. е., около 65,13%.
Вероятность того, что при шести испытаниях хоть раз кубик выпадет выбранной стороной: 1-(5/6)^6, т. е., около 66,51%.
Это классическая вероятность, можете в любом учебнике по теории вероятности и математической статистике посмотреть, как так получается. Могу рекомендовать учебник Гмурмана.

0,1+0,9*0.1+(0.9)^2*0,1+...+(0,9)^9*0,1 - получится единица? Как-то фиг вам!

Нет, это не так. Читаем, что такое формула Бернулли:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Бернулли

Шанс не становится больше, он каждый раз один и тот же - 1 к 6.
При количестве подбрасываний стремящихся к бесконечности, количество выпадений одного числа будет стремиться к 1/6 от общего

нет, вероятности так не складываются.

Ну точнее так складываются только взаимоисключающие вероятности. Например если я брошу кубик, то какова вероятность, что выпадет 1 или 2? - тут мы возьмём вероятность выкинуть одну из граней P(a) = 1/6, потом вторую из граней P(b) = 1/6, а потом их сложим:
P(a или b) = P(a) + P(b) = 1/6 + 1/6 = 2/6
Мы так можем их сложить потому, что невозможно такое, что оба события произойдут одновременно (то есть если произойдёт одно, то точно не произойдёт другое)

Если же мы говорим о событиях, которые невзаимоисключающие (независимые), то тут складывать нужно иначе:
P(a или b) = P(a) + P(b) - P(a и b) = P(a) + P(b) - P(a)*P(b)
Почему так? потому что оба события могут произойти "одновременно". А значит когда мы складывали эти вероятности, то область, где события a и b перекрываются посчитали дважды, из-за чего её нужно отнять.

Допустим мы хотим чтобы выпала единичка. Если мы кинем кубик 2 раза, то вероятность, что хотя бы 1 раз выпадет единица равна:
P = 1/6 + 1/6 - 1/6 * 1/6 = 2/6 - 1/36 = 11/36 (а не 1/3, как В считали)
Если мы кинем кубик ещё раз, то вероятность, что единичка выпадет в одном из этих трёх бросков будет уже
P = 11/36 + 1/6 - 11/36 * 1/6 = 17/36 - 11/216 = 91/216 (а не 1/2, как Вы считали)

ну и т. д.

Ну вообще легче это посчитать как
P = ∑(i=1; n; 1/6 * (5/6)^(i - 1)) = 1/6 * ∑(i=1; n; 6/5 * (5/6)^i) = 1/5 * ∑(i=1; n; (5/6)^i), где n - количество бросков

так если сделать 2 броска, то вероятность получится
f(2) = 1/5 * ∑(i=1; 2; (5/6)^i) = 1/5 * (5/6 + 25/36) = 1/6 + 5/36 = 11/36

если сделать 3 броска:
f(2) = 1/5 * ∑(i=1; 3; (5/6)^i) = 1/5 * (5/6 + 25/36 + 125/216) = 1/6 + 5/36 + 25/216 = (36 + 30 + 25)/216 = 91/216

ну а для 6 бросков:
f(6) = 1/5 * ∑(i=1; 6; (5/6)^i) = 1/5 * (5/6 + 25/36 + 125/216 + 625/1296 + 3125/7776 + 15625/46656) = 0.6651 = 66.51%

Правильнее здесь умножать НЕжелательные комбинации:

Если шанс 1/6, то нежелательный шанс 5/6. Вот его-то и надо умножать столько раз, сколько бросали. И не забудьте полученный результат вычесть из 1.

Например, бросали кубик 3 раза:

1-(5/6)^3=1-(125/216)=91/216.

Понимаешь, Лен, тут ведь как? Шанс — 10%, то есть, в одном случае из 10. Если сделать 10 раз, то скорее всего получится. Но необязательно. Вероятность — она всего лишь отношение. Числа вариантов событий к числу всех событий.

Это не 100 процентная вероятность, а обычный шанс, может быть такое если вы кинете кубик раз 20 то нужное число вам может не выпасть.