Что такое бесконечно большое число?

ну бесконечно больших чисел не бывает. На самом деле бывают последовательности, стремящиеся к чему-то (к нулю, бесконечности, или любому другому значению), и есть функции, которые на вход принимают последовательность и на выходе возвращают другую последовательность, где каждому элементу первой последовательности сопоставляется элемент второй. Так вот, когда мы пишем
lim(x ⟶ ∞, 2/x), то это означает, что есть некоторая последовательность x, такая, что какое бы число мы не загадали, а начиная с некого элемента xₖ все элементы последовательности будут больше этого числа, и есть другая последовательность y, такая, что yₖ = xₖ/2, где k - номер элемента в последовательности. И вот lim означает, что мы хотим узнать, а к какому же числу стремится последовательность y. Ну вот в данном случае она стремится к значению 0 (чем ближе xₖ к бесконечности, тем ближе yₖ к нулю).

Итак, теперь понимая, что бесконечно больших чисел не бывает, а бывают последовательности, которые к чему-то стремятся, можно и ответить на Ваш исходный вопрос :) если x ⟶ ∞, то к чему стремится последовательность y = x*2. как не сложно догадаться, y ⟶ ∞, потому что какое бы мы число не загадали, начиная с некого xₖ все элементы x будут больше этого числа, а значит и начиная с yₖ и все y будут тоже больше этого числа :)

потому x не равно 2x (это разные последовательности), но вот
lim(x ⟶ ∞, x) = lim(x ⟶ ∞, 2*x) - хоть они и разные, но стремятся они к одному и тому же значению

Числа не бывают бесконечно большими. Потому что бесконечность не является числом.

Зависит от условий. Как правило таковым считают число, обратное которому пренебрежимо мало. Умножать и складывать числа, стремящиеся к бесконечности, смысла нет, такие операции не имеют такого же смысла, как операции с обычными числами, так что одна бесконечность, две, пол-бесконечности, бесконечность минус пять - смысла в этом просто нет. Обратное ему число всё равно будет пренебрежимо мало.

2x

Бесконечно большие величины получаются делением чисел на бесконечно малые величины. Бесконечно малой величиной является ноль.