Помогите с кубическим уравнением.

Было у вас кубическое уравнение:
A x^3 + B x^2 + C x + D = 0
A не равно нулю (иначе уравнение не кубическое).
Уравнение содержит 4 параметра. Чем меньше параметров - тем проще. Уменьшим число параметров.
1) Разделим все уравнение на A, получим:
x^3 + (B/A) x^2 + (C/A) x + (D/A) = 0
Обозначим:
B/A = b
C/A = c
D/A = d
Уравнение примет вид:
x^3 + b x^2 + c x + d = 0
Осталось 3 параметра вместо 4-х.
2) Будем искать решение в виде:
x = y + s
(y - новая переменная, относительно которой мы будем решать уравнение, а вот s выберем позже из соображений удобства).
Подставляем x в таком в виде в уравнение:
(y + s)^3 + b (y + s)^2 + c (y + s) + d = 0
Раскрываем скобки, перегруппируем:
y^3 + (3 s + b) y^2 + (3 s^2 + 2 b s + c) y + (s^3 + b s^2 + c s + d) = 0
Получи уравнение для y. Теперь можем выбрать s так, чтобы максимально упростить себе жизнь. Какое условие потребовать? Можно потребовать, что одна из скобок стала равной нулю.
Потребовать равенства нулю третьей скобки было бы лучше всего (тогда уравнение сразу решится), но мы не можем этого сделать, т. к. тогда пришлось бы решать то же самое уравнение, но для s.
Оказывается удобным потребовать, чтобы нулю равнялась первая скобка:
3 s + b = 0
Тогда:
s = - b / 3
И при известном значении s мы можем вычислить все то, что содержится в остальных скобках. Обозначим:
3 s^2 + 2 b s + c = p
s^3 + b s^2 + c s + d = q
И тогда уравнение для y примет вид:
y^3 + p y + q = 0
Осталось всего 2 параметра вместо 4-х.
(Это еще не решение уравнения, это просто упрощение. Оно было упрощено таким образом задолго до того, как его научились решать).
-
Так вот ответ на ваш вопрос. Такая замена изначально делалась для упрощения уравнения, чтобы уменьшить число независимых параметров, входящих в уравнение.
Упрощать можно и иначе (потребовать равенства нулю для другой скобки), но оказалось, что и решать его дальше удобно именно в таком виде (без квадратичного слагаемого).