Джоуль — единица измерения работы, энергии и количества теплоты. То есть энергия, работа и теплота это одно и тоже?

Нет, это цепочка возникновения тепла.

По большому счёту да. Например механическая энергия может перейти в тепловую, а внутренняя энергия нагретого пара может перейти в механическую работу.

В одном и том же газовом процессе работа может быть равной плюс 150 Дж, кол-во теплоты минус 200 Дж, начальная внутренняя энергия плюс 625 Дж, конечная плюс 275 Дж. Значит, не одни и те же величины.

Да, что не ясно?
Joule; русское обозначение: Дж; международное: J) — единица измерения работы, энергии и количества теплоты в Международной системе единиц (СИ). Джоуль равен работе, совершаемой при перемещении точки приложения силы, равной одному ньютону, на расстояние одного метра в направлении действия силы.

Потому что одно переходит в другое все это энергия

Чтоб было полегче придумали специальные обозначения.
В калориях измеряется тепловая энергия, в джоулях механическая, в электронвольтах ядерная или атомная

И да и нет. Теплота - это энергия которая передана или получена в процессе теплообмена. Т. е. по сути потенциальная энергия, но не совсем. Работа - это результат затраченной энергии. Т. е. тоже вроде как энергия. Ну и сама энергия, вот она точно энергия. И все мерят джоулем.
Для примера. У тебя есть автомобиль. Если никуда не ехать, но греть двигатель - бензин тратится. Значит, предположим, три часа просидеть в теплой машине стоят рублей пятьдесят. А еще это, допустим, семь километров по трассе или два по бездорожью, тоже стоят рублей пятьдесят. Ну и конечно литр бензина это тоже рублей пятьдесят. Но это не значит что три часа времени равны семи километрам. Хотя на все эти действия тебе нужно потратить литр бензина который измеряется деньгами.
Вот и с джоулем примерно та же фигня.