Вопрос касательно дискриминанта кв. уравнения.

Потому что в доказательстве того, что квадратичная функция является параболой и в выводе формулы для корней квадратного уравнения используется один и тот же приём - метод выделения полного квадрата. Для этого квадратный трёхчлен приводят к следующему виду:



Доказать эту формулу проще справа налево, раскрыв скобки и упростив выражение.
Теперь ясно, что графиком квадратичной функции y = ax² + bx + c является парабола y = ax², сдвинутая влево на -b/2a и вверх на (4ac - b²)/4a так что -b/2a - это абсцисса вершины параболы.

С другой стороны, выражение 4ac - b² представляет собой взятый со знаком "минус" дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, и если он равен нулю, то это уравнение обращается в такое: a(x + b/2a)² = 0 и, очевидно, имеет единственный корень : -b/2a. Собственно, именно для этого и сделано обозначение: D = b² - 4ac и введёт термин "дискриминант": в зависимости от знака D уравнение может иметь ни одного, один или два корня.

Отсюда получается, что ордината вершины параболы равна -D/4a, и если D = 0, то координаты вершины параболы (-b/2a; 0), но если ордината вершины параболы равна нулю, то это означает, что квадратичная функция, графиком которой эта парабола является, обращается в нуль в единственной точке - абсциссе вершины параболы, а значит, именно эта абсцисса и является единственным корнем соответствующего квадратного уравнения.

Этот момент разобран в учебнике по Алгебры авторства Мордковича, по которому я в своё время учился:

Открой учебник алгебры 8 класса и там объясняется вывод формулы корней квадратного уравнения. Вот там при выделении ПОЛНОГО КВАДРАТА из квадратного трёхчлена и получается в скобках. В математике ничего не получается "из воздуха"!

Как объяснили выше, первое -в/(2а) получается от преобразования общего уравнения параболы и показывает абсциссу её вершины.
Во втором случае равенство дискриминанта нулю означает, что парабола КАСАЕТСЯ оси абсцисс в точке - в/(2а)...
Ничего таинственного.