Существует ли простой и понятный пример того, что можно описать математически, но невозможно представить в уме?

Да, есть. Это, например, число Грэма.

Это число настолько огромно, что никаким образом невозможно представить себе в уме, сколько это. Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть видеоролик, который ищется в поисковике по запросу "Что будет, если досчитать до числа Грэма".

Однако если следовать формализации всей арифметики, используя набор аксиом Пеано, а также не так широко распространённую стрелочную нотацию Кнута, то строго математически описать, что такое число Грэма, довольно просто. И это займёт не более нескольких страниц. Всё описание приводить не буду, а укажу только основные идеи:

1. Вначале мы принимаем без строгого определения число 1 (единицу), а также функцию следования S(x), которая сопоставляет каждому натуральному числу следующее за ним (например, S(1) = 2, S(2) = 3, и так далее). То есть, S(n) - это просто n + 1. Таким образом, зная, что такое 1, мы даём определение числу 2. Зная, что такое 2, мы даём определение числу 3. И так далее вплоть до любого натурального n.

2. Далее определяем операцию сложения следующим образом:
a + 1 = S(a)
a + S(b) = S(a + b)
Поясню смысл этого, но только один раз: вначале мы даём определение операции сложения любого числа a (здесь и далее под числом будем иметь в виду натуральное число) с единицей, а затем через сложение a с произвольным числом b мы определяем сложение числа a с числом, следующим за b. Таким образом, зная, что такое a + 1, мы знаем, что такое a + 2, зная это, мы знаем, что такое a + 3, и так далее, вплоть до любого b. Таким образом, мы знаем, что такое сумма a + b, где a + b - любые числа.
Такое определение называется рекуррентным. Суть его в том, что мы определяем функцию от начального аргумента (в данном случае от 1), а затем через функцию от произвольного аргумента определяем эту функцию от следующего за ним аргумента.

3. После этого мы определяем операцию умножения:
a * 1 = a
a * S(b) = a * b + a
Пояснения аналогичны предыдущему с учётом того, что мы знаем, что такое сложение (то есть, в определении умножения мы используем понятие сложения, которому уже дали определение).

4. Далее, как нетрудно догадаться, мы определяем операцию возведения в степень. И легко понять, что мы делаем это следующим образом:
a^1 = a
a^S(b) = a^b * a
И здесь пояснения полностью аналогичны предыдущему. Здесь возведение в степень мы определяем через умножение.

5. А что дальше? А дальше - та самая стрелочная нотация Кнута. Внимание:
Простое возведение в степень a^b (которое уже было определено в п. 4 и привычное всем нам) иногда обозначается так a ↑ b (одна стрелочка).
Далее определяем, что такое a ↑↑ b (две стрелочки). Это (((a ↑ a) ↑ a) ↑ ...) ↑ a всего b раз. То есть, сначала мы вычисляем a ↑ a, затем после того, что получилось, пишем ↑ a и вычисляем, после нового результата опять пишем ↑ a и вычисляем. И так всего b раз. А в наших обозначениях это можно записать очень коротко:
a ↑↑ 1 = a
a ↑↑ S(b) = (a ↑↑ b) ↑ a
Можно самостоятельно убедиться, что в этих двух простых строчках как раз и скрывается определение, данное выше них, если последовательно подставлять вместо b числа 2; 3; 4 и так далее.

6. Аналогично мы определяем три стрелочки:
a ↑↑↑ 1 = a
a ↑↑↑ S(b) = (a ↑↑↑ b) ↑↑ a

7. И вообще n стрелочек. Однако за неимением свободного места строгое определение я опущу. Скажу только, что и его строго можно дать через эту же рекурсию, т. е. определить a ↑↑↑... ↑ b для любых a и b и для любого числа стрелочек. Коротко, если количество стрелочек равно c, будем записывать так: a[с] b.

8. Мы почти добрались до числа Грэма.
Определим сначала g(1) = 3[4]3 = 3↑↑↑↑3
Далее g(2) = 3[g1]3
Потом g(3) = 3[g2]3
И так далее. Несложно дать рекуррентное определение на нашем языке:

g1 = 3[4]3
g(S(n)) = 3[g(n)]3

А число Грэма - это "всего-навсего" g(64).

Вот и всё! Потребовалось всего 8 пунктов.

Хм, Вы можете представить в уме минус два карандаша?

Число пи. Имеет вполне конкретное значение но описывается буквально бесконечным рядом чисел. Как, в прочем, и натуральное число, и множество других...

В уме представления опираются на уже сформировавшиеся понятия. У разных людей они разные: зависит от возраста, среды, навыков, обучения. То, что не может представить один человек, то сможет в уме представить другой. Проблема, часто, заключается в трудности представленное в уме изложить формально строго и понятно для всех других.

Возьмите любую школьную задачу. Если не написать формулы и формально их не решить, можно голову сломать.

Достаточно всё легко представить в уме, обладая навыками.

Например, когда мне нужно представить в уме 26-мерное пространство, я сначала представляю пространство с размерностью n, а затем уже полагаю n равным 26.

n-мерное пространство, если n больше трех.

100 000
Так просто

Существует, но не все поймут.