На какое наименьшее число надо множить число 7777, чтобы получить число, записываемое одними единицами?

То есть нужно наименьшее целое число X:
7777 * X = 11111(и сколько-то еще единичек)
Преобразуем:
7777 = 7 * 1111
Распишем 1111 как сумму 4-х слагаемых:
1111 = 1 + 10 + 100 + 1000 = (10^4 - 1) / 9
Распишем чиселку из неизвестного числа N единичек аналогично:
1 + 10 + 100 + (сколько-то слагаемых) + 10^(N-1) = (10^N - 1) / 9
Возвращаем все в исходное равенство:
7 * (10^4 - 1) X / 9 = (10^N - 1) / 9
Можно сократить (1/9) и выразить X:
X = (10^N - 1) / [7 (10^4 - 1)]
Теперь осталось подобрать минимальное целое N > 0, чтобы X было целым.
Насчет делимости числителя на (10^4 - 1) = 9999, видно, что это происходит при:
N = 4 n.
А рассмотрение делимости на 7 становится проще, если преобразовать немного:
(10^N - 1) mod 7 = ([7 + 3]^N - 1) mod 7 = (K 7 + 3^N - 1) mod 7 =
= (3^N - 1) mod 7
Тут видно, что делимость будет при:
N = 6 m.
Тогда получается, что N = 12 k. Получаем общий вид чисел, могущих удовлетворять условиям задачи:
X = (10^[12 k] - 1) / (7 (10^4 - 1)), k > 0
Вам нужно минимальное такое число, поэтому начинаете проверять на делимость при разных k по очереди, начиная с k = 1. Подставляем k = 1:
(10^[12 k] - 1) / (7 (10^4 - 1)) = (10^4 - 1) (10^4 + 10^2 + 1) / (7 (10^4 - 1)) =
= (10^4 + 10^2 + 1) / 7
Тут, чтобы не делить, замечаем, что:
10^4 mod 7 = 3^4 mod 7 = 4
10^2 mod 7 = 3^2 mod 7 = 2
Тогда:
(10^4 + 10^2 + 1) mod 7 = 0
И ответ:
X = (10^12 - 1) / (7 (10^4 - 1)) = (10^4 + 10^2 + 1) / 7
(Считать лень)

1/7777 очевидно... ))

14 287 143 * 7777=111 111 111 111.