Нужно доказать, что найдется число, записываемое одними единицами и делящееся на 1999

Воспользуемся принципом Дирихле.
Обозрачим А (к) число, записываемое одними единицами, и в котором этих единиц к штук.
То есть А (1) = 1
А (2) = 11
А (3) = 111 итд
Рассмотрим числа А (к) , где к меняется от 1 до 2000, то есть числа 1, 11, 111, ..111...111(2000 единиц) .
Каждое из них дает какой. то остаток при делении на 1999. Но различных остатков может быть только 1999 (от 0 до 1998), поэтому согласно принципу Дирихле какие-то два из этих чисел имеют одинаковые остатки при делении на 1999.
Пусть это будут числа А (b) и А (с) , причем с больше b.
Тогда разность чисел А (с) и А (b) равна 111...111000...000, причем в этом числе с - b единиц и b нулей.
То есть это число равно А (с - b) * 10^b.
А поскольку ни одно из чисел вида 10^b на 1999 не делится, то на 1999 делится число А (c - b), чтд

Возьмем 1999 чисел вида 1,11,111,...Если ни одно из них не делится на 1999, то среди них найдутся два числа, дающие при делении на 1999 одинаковые остатки. Тогда их разность делится на 1999. Эта разность будет иметь в старших разрядах единицы, в младших нули. Разделим ее на максимально возможную степень 10, чтобы убрать нули в хвосте. 10 - число, взаимно простое с 1999. Значит, получим число из одних единиц, тоже делящееся на 1999.

Это число - 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111