Естественные науки

О станочном делении окружности на равные части

Чтобы делить окружность детали на n равных частей, используют универсальные делительные головки (УДГ: см., напр., https:// kpsk.ru/oborudovaniye/instrument/delitelnye-golovki-udg.html ) (убрать пробел после косых черточек). Патрон УДГ приводится во вращение рукояткой, при 40 полных оборотах которой первый делает 1 полный оборот. Для получения долей оборота на обеих сторонах делительного диска (его можно ставить на обеих сторонах) выполнены по 8 рядов концентрично и равномерно расположенных углублений, служащих для фиксации рукоятки в том или ином положении. У большинства УДГ числа углублений по отдельным кругам таковы:
Одна сторона: 16; 17; 19; 21; 23; 29; 30; 31
Другая сторона: 33; 37; 39; 41; 43; 47; 49; 54.
Это обеспечивает деление на n равных частей при всех значениях n от 2 до 50 включительно. Но далее данная "сплошность" нарушается: напр., деление на 52, 54, 55 бывает возможным, а на 51 и 53 - нет.
Приведём пример. Деление на 28 равных частей. На 1 шаг патрон должен повернуться на 1/28 оборота. Рукоятка же 40/28 об. Имеем:
40/28= 10/7= 30/21= 1 9/21= 70/49= 1 21/49.
Значит, чтобы повернуть патрон на 1 шаг, рукоятка должна совершить 1 полный оборот плюс 9 делений по кругу из 21 углублений или 21 деление по кругу из 49 углублений.
Если не требуется высокая точность деления, можно на той же УДГ делить на те же 51, 53, 57 и т. д. частей.
ВОПРОС: Как можно на той же УДГ делить на 51 примерно равную часть при условии, что погрешность на 1 шаг не превысит 3,5%?
Примечание. Для точного деления на те "недоступные" части применяется дополнительный элемент - гитарное устройство. Но здесь предполагается, что производство данным приспособлением не обладает ( что бывает нередко с малыми предприятиями).
МГ
Марина Гомонова
80 900
40/51=0,7843
13/17=0,7647
(0,7843-0,7647)/0,7843=0,025=2,5%
На круге с 17-тью углублениями берем 13 делений.
42/54=0,7778 еще ближе - 0,8%
а ближе всего 29/37 - 0,066 %
Людмила Кумпан
Людмила Кумпан
38 779
Лучший ответ
Дмитрий Ванарх Не пойму смысла задачи: 51 от 52 уже отличается менее чем на 2%. Зачем искать еще какие-то решения
Марина Гомонова Да, 29/37. Но максимальная шаговая погрешность не 0,066%, а 3,38%. Надеюсь, догадаетесь, почему.
Сергей Ханин А хотя процент он считает не от всего круга, а от 1/51 круга, т. е. это надо 1/(40*54)*51 - как раз искомые 2.3%
Марина Гомонова Надеюсь, вы уже увидели на своей странице мой коммент ZZZZZZ
Собственно, 51 от 52 отличается на 2%, смысл задачи? Делите на 52, если 51 недоступно. Но я хочу попробовать найти точное решение. Оно должно быть. Мы ведь можем повернуть на РАЗНИЦУ одного шага каких-нибудь шкал? Например 1/16-1/17=1/272, а если еще и на 40 поделить - получается возможный шаг по патрону 1/10880. Куда уж точнее? А чтобы совсем точно - надо найти НОК периодов двух любых шкал и 51 и работать с этими шкалами.
Валентина Донгаузер
Валентина Донгаузер
25 006
Людмила Кумпан Я пока нашел 29/37. Погрешность 0,066%
Людмила Кумпан Точнее, чем 29/37 нет.
Марина Гомонова "Делите на 52, если 51 недоступно".
С данной задачей я столкнулся на практике. Нужно было изготавливать зубчатое колесо, не требующее особой точности, но имеющее именно 51 зубьев! Так что рассмотрение 50 или 52 зубьев исключается.
"Мы ведь можем повернуть на РАЗНИЦУ одного шага каких-нибудь шкал?"
На диске концентрические ряды углублений начинают счёт с одной радиальной прямой; поэтому в начале получаем одну разницу, на следующей паре углублений две разницы и т. д. Практическое осуществление этой "затеи" для решения поставленной в вопросе задачи весьма проблематично.
Итак, у автора есть делитель оборота на 40*54 части, автор хочет сделать зубчики в 1/51, т. е. поделить окружность на 51 примерно равную часть.

Как мы делаем, когда хотим записать числа 1/7, 2/7, 3/7 и т. д. с помощью десятичных дробей? Записываем {0.14, 0.29, 0.43, 0.57, 0.71, 0.86} и совершенно не заботимся о том, что 0.29 - это не 0.14*2. Погрешность каждого числа - не более 0.005, погрешность разности - не более 0.01, что и выражается во фразе "с точностью до сотой".

Записываем числа i/51 в количестве 1/(40*54) окружности. Совсем не сложно: k: "{42, 85, 127, 169, 212, 254, 296, 339, 381, 424, 466, 508, 551, 593, 635, 678, 720, 762, 805, 847, 889, 932, 974, 1016, 1059, 1101, 1144, 1186, 1228, 1271, 1313, 1355, 1398, 1440, 1482, 1525, 1567, 1609, 1652, 1694, 1736, 1779, 1821, 1864, 1906, 1948, 1991, 2033, 2075, 2118, 2160}"

Погрешность каждого (в смысле k[i]/(40*54)-i/51) - не более 0.5/(40*54), погрешность разницы двух любых - не более 1/(40*54). В процентах от 1/51 - это 2.4%, что в полтора раза лучше заявленных 3.5%.
Александр Придверов
Александр Придверов
12 614
Александр Придверов О, и это я из общих соображений оценку делал. На самом деле разница между двумя соседними зубцами - это 42/(40*54) или 43/(40*54). Что, соответственно, 1/51*(1-0.0083) и 1/51*1.0153, т. е. получившаяся точность - 1.5%, более чем в два раза лучше, чем заявленная 3.5%.
Марина Гомонова Понятно. После фрезерования почти каждого зуба число "преодолеваемых" углублений на диске изменяется на 1 деление в ту или другую сторону. Как я указал в комменте ZZZZZZ на странице Чайковского, можно ещё точнее, имея под рукой координатную сетку всех углублений (перекочуя из одного ряда углублений на другой). Но следует согласиться, что и то, и другое непрактичны - можно ошибаться.
Валентина Донгаузер Там нужна была шестерня именно с 51 зубом. Хотя я тоже нарезал бы 52, с погрешностью по передаточному числу 1,9%, зато без проблем с зацеплением.
Александр Придверов Подводка у тебя вообще дикая была. Написал бы в условии: разбить окружность на 51 часть так, чтобы было 50 равных кусков, а оставшийся не отличался бы более, чем на 4%. Я бы тогда пошутил, что, мол, фраза "у кольца нет конца" признана идеологически вредной, поэтому и надо так крутиться.

А ты предложил самому додуматься до решения, в котором ошибка накапливается. Это, вообще-то, вредно. И в экспериментальной физике, и в численном моделировании закладывается следить, чтобы такого не было. Так и учат: следите, чтобы случайная ошибка оставалась случайной, не становилась системной, не накапливалась...

И кстати, чем сильнее будут распространены 3д принтеры (а цены на принтер без расходников сравнимы с ценами на УДГ без станка), тем сложнее будет найти фрезеровщика. Анахронизм, однако.
Александр Придверов Ну, сам ведь понимаешь: крутить 42, крутить 43, и даже крутить 13 - это всё крутить в одну сторону. И есть завернуть на 14 вместо 13 - это всё равно нужно крутить назад.

Похожие вопросы