Будет ли работать двигатель Стирлинга в космосе одной стороной к солнцу а другой в тени, это же вечный двигатель выходит?

не все так просто
---
небольшой объект прогреется полностью... и все, стоп-машина )

нужен крупный астероид, но и там. если с нагревом нет проблем, то охлаждение затруднено, ибо в космосе нет воздуха или иной плотной среды, невозможно эффективно охладить теплоноситель.

нужен огромный рассеиватель (ИК лучи в пространство)

"Тени" - недостаточно, слишком слаб естественный отток теплоты. Нужно позаботиться об охлаждении как-то получше.

Для особо тупых: всё, что работает от Солнца, не может быть вечным!
Солнце не вечно!!!

Почему этот двигатель быстро остановится, Вам написал Google Russia. Если с нагревом еще как-то можно исхитриться, то с отводом тепла в вакууме - беда. Это во-первых.
А во-вторых, такой вариант использования Стирлинга не имеет никакого отношения к вечному двигателю не потому, что он быстро остановится, а потому, что он использует внешний источник энергии - Солнце.
С тем же успехом можно назвать вечным двигателем Стирлинг, работающий в земных условиях, если один конец засунуть в речку, а другой выставить на Солнце. Вечный двигатель по определению - это "неограниченно долго действующее устройство, позволяющее получать большее количество полезной работы, чем количество сообщённой ему извне энергии".

Конечно будет, вселенная до сих пор расширяется с ускорением, а это 14.7млрд лет уже происходит

Такой же вечный, как и солнечная батарея в космосе. Вы путаете вечный двигатель с так называемыми неисчерпаемыми источниками энергии.