УМФ: Задача Коши. Найти время опрокидывания.

Воспользуйся методом характеристик, т. е. рассмотри кривые на плоскости (x,t), заданные решениями dx/dt=u^2.

При оценке du/dt ты обнаружишь, что она постоянна на характеристических кривых, поскольку u удовлетворяет основному уравнению в частных производных. Ты также сможешь легко показать, что кривые являются прямыми линиями, вычислив вторую производную (d^2x)/(dt^2). Таким образом, характеристические кривые будут прямыми линиями, и подход здесь будет заключаться в интегрировании уравнения по этим прямым линиям, начиная с поверхности начального значения.

Итак, если ты ищешь характеристику через (x,t), ты устанавливаешь dx/dt=u^2((x,t))=u^2(ζ,0)=u^2(F(ζ)) для функции F, которая дает начальные данные, поэтому F(ζ)=u(ζ,0)=exp(-ζ^2/2), а затем прямое интегрирование дает уравнение для характеристики:
x=u^2(F(ζ))t+ζ.

Таким образом, характеристики представляют собой прямые линии, наклон которых зависит от точки ζ на начальной поверхности, а уравнение непосредственно перед этим предложением определяет (x,t) неявно как функцию от ζ.

Решение задачи начального значения будет дано следующим образом:
u(x,t)=u(ζ,0)=F(ζ).

Чтобы получить необходимое условие, что это решение, ты можешь переписать уравнение для характеристик как:
х=G(ζ)t+ζ.
где G(ζ)=u^2(F(ζ)).

Затем продифференцируй это уравнение и решение по x и t, и ты получишь два уравнения, включающие ζ и dζ/dt, и оба из них могут быть исключены из двух уравнений, чтобы получить выражения для u_x и u_t через G и F.

Еще немного манипуляций покажет нам, что ты получаешь решение, если конкретное выражение, включающее G′(ζ) и t, которое появится в знаменателе, не исчезает. Выражение: 1+tG′(ζ).

Также:

По квазилинейному уравнению в частных производных с условиями Коши

u_t+u^2u_x=0 с условием u(x,0)=f(x) приведет к решению в неявной форме:

u=f(x-u^2t).
u=e^(-(x-u^2t)^2)

Это решение удовлетворяет начальным условиям

u(x,0)=e^(-x^2), если "всунуть" t=0.

Для проверки тождества дифференциального уравнения нам потребуются u_x и u_t.

И u_x, и u_t - весьма неприятные выражения)

u_t=e^(-(x-u^2t)^2)+2u^2(x-u^2t) I

u_x=-2e^(-(x-u^2t)^2)*(x-u^2t)(1-2uu_x) II.

Во втором члене у нас есть u_x с обеих сторон. Взяв u_x в левой части и после некоторых алгебраических манипуляций, и умножив II на u^2, мы убедимся, что u_x, u^2 и u_t действительно удовлетворяют уравнению в частных производных.