Если река 5000 км течет по Земле, а она круглая, то реке нужно сначала подняться по дуге, а потом течь вниз. Сферическое

гравитация то разнонаправленная

Вода дырочку найдёт.

Вверх вода не течёт - реки текут вниз.

"...реке нужно сначала подняться по дуге"?! По-твоему с противоположной стороны Земли реки просто в космос должны стечь???

Всё верно. Геометрия реки рассматривается не на плоскости, а на сферической поверхности. Так что она спокойно течет по радиусу вниз.

Тут никакого пространства Лобачевского нет. Обычное евклидово пространство, рассматриваемое в сферических координатах.
Вода течёт по линиям, близким к эквипотенциальным.

начнет с того что земля не круглая!
Земля сплюснута по полюсам и данная форма называется Элипс. Так как сила тяжести равномерно распределена по всей поверхности фигуры относительно её центра массы то для реки преодоление данного искревления пространства может казаться и падением так как её тянет вверх силой притяжения, и тут вы ловно подменяете понятия так как у сферы и элепса, иной тригонометрической фигуры нет такого понятия верх как его нет и в космосе. Верхъ это понятие условное относительно какой либо выбранной точки конкретного наблюдателя.

Всё работает как нужно просто конкретно вы не понимаете принципа.

поверни рисунок и реке не надо будет подниматься вверх.

Река течет от большого расстояния до центра Земли к меньшему. Градиент радиуса определяет скорость течения. Большой градиент (перепад) - большая скорость.

да ни хрена она не будет подниматься, размоет поверхность до уровня базиса эрозии и всего делов... большой каньон на картинке видел)?