Почему "Начала математического анализа" так называются?

Математический анализ - это одна из основных дисциплин математики, специализируется на работе с пределами, интегралами и дифференциалами, иными словами это "анализ бесконечно малых" . А начала анализа - это легкое введение в эту дисциплину. Курс алгебры потому что уже пройден полностью.

Матанализ занимается правилами дифференцирования (нахождения скорости изменения) функций и обратным этому действием над функциями - интегрированием (оно позволяет и определить площадь под графиком функции).
Например, знание функции скорости машины в зависимости от времени позволяет определить пройденный ею путь для каждого момента времени (это один из простейших примеров применения).
Почему 'начала"? Потому что в школе изучают только простейшие случаи. А учите вы это для того, чтобы иметь представление, что это такое. Практически почти всегда встречаются более сложные случаи, это уже дело высшего образования.

Есть просто математика. А есть "математический анализ". Назвали потому, что там надо сильнее напрягать мозги. Ну и чтобы отличить от супергеометрии (её назвали "аналитической геометрией") и супералгебры (её назвали "высшей алгеброй")

"Начала" потому, что дальше - больше.

Это как пробник героиновой дозы от барыги. Хрен остановишься потом.

Анализ в широком смысле - раздел математики, так или иначе изучающий вопросы, связанные с пределами/непрерывностью. Он включает в себя и весьма прикладные разделы - например, он начинается со строгого определения действительного числа (которое в школе не проходят), и весьма абстрактные, типа общей топологии.

Математика вся строится на алгебре, анализе, ну и, для желающих, - геометрии.

Если б твои арккосинусы и логарифмы были дробно-рациональными функциями, ими бы занималась элементарная (т. е. школьная) алгебра, но они таковыми не являются. Хотя и замечу, что эти функции неплохо раскладываются, например, в степенные ряды - т. е. приближаются многочленами с заранее заданной точностью.