Почему метод математической индукции работает?

Вы не совсем правильно сформулировали этот метод, и Михаил Королёв абсолютно верно на это указал. Но думаю, вы понимаете его всё же правильно. Метод математической индукции (он же принцип Пеано) - это на самом деле АКСИОМА, входящая в аксиоматику натурального ряда чисел. Грубо говоря, он означает, что мы можем, начав с единицы и прибавляя по единице, получить ЛЮБОЕ натуральное число, как бы велико оно ни было. Иными словами, в натуральном ряде нет никаких "изолированных островков",до которых было бы невозможно добраться таким образом, и нет никаких чисел, кроме единицы, у которых не было бы предшествующего числа.

Пусть у Пеано сегодня будет выходной. Отвечу с некоторым предварительным прицелом на более общие виды индукции.

Пусть мы корректно проверили базу индукции и провели индуктивный переход.

Пусть существует натуральное число, для которого доказываемое утверждение неверно. Тогда существует и минимальное нат. число, для которого доказываемое утверждение неверно. Обозначим это мин. число n.
Если n = 1, то это противоречит утверждению, доказанному в базе индукции.
В противном случае n-1 - натуральное, и для n-1 доказываемое утверждение верно. Но это противоречит утверждению, доказанному в индуктивном переходе.

Надо показать сначала истинность при n=1
Потом доказать, что из истинности для n следует истинность для n+1.

А не просто из истинности для n+1.