Доказать методом математической индукции

Задачу можно разбить на три основных шага при использовании метода математической индукции:

1) **База индукции**: Проверим истинность утверждения для n = 1. Левая часть будет равна 2 (первый член последовательности), а правая часть равна 1^3 + 1^2 = 2. Таким образом, для n = 1 утверждение истинно.

2) **Шаг индукции (предположение индукции)**: Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k, то есть:

2 + 10 + 24 + ... + 3k^2 - k = k^3 + k^2 (1)

3) **Шаг индукции (доказательство)**: Докажем, что утверждение верно для n = k + 1. Для этого мы должны проверить, что

2 + 10 + 24 + ... + 3k^2 - k + 3(k + 1)^2 - (k + 1) = (k + 1)^3 + (k + 1)^2 (2)

Подставляем равенство (1) в левую часть равенства (2) и получаем:

k^3 + k^2 + 3(k + 1)^2 - (k + 1) = (k + 1)^3 + (k + 1)^2

Упрощаем это равенство:

k^3 + k^2 + 3k^2 + 6k + 3 - k - 1 = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + (k^2 + 2k + 1)

k^3 + 4k^2 + 5k + 2 = k^3 + 4k^2 + 5k + 2

Таким образом, утверждение верно для n = k + 1, если оно верно для n = k.

Следовательно, утверждение верно для всех натуральных n по принципу математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая При n=1, левая сторона равна 2, а правая сторона равна 1+1=2. Базовый случай верен. Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для n=k: 2+10+24+...+3k^2-k = k^3+k^2 Шаг 3: Доказательство индукции Докажем, что утверждение верно для n=k+1: 2+10+24+...+3k^2-k+3(k+1)^2-(k+1) = (k+1)^3+(k+1)^2 Раскроем скобки: 2+10+24+...+3k^2-k+3k^2+6k+3-(k+1) = k^3+3k^2+3k+1+k^2+2k+1 Упрощаем выражение: 2+10+24+...+3k^2-k+3k^2+6k+3-k-1 = k^3+3k^2+3k+k^2+2k+k 2+10+24+...+3k^2+3k^2+3k+2=k^3+4k^2+6k+2 Подставляем предположение индукции: k^3+k^2+3k+2=k^3+4k^2+6k+2 Упрощаем выражение: k^2-3k=0 k(k-3)=0 Таким образом, мы доказали, что утверждение верно для k+1, и тем самым доказали методом математической индукции.