Каким образом установили, что у треугольника на плоскости сумма углов всегда 180°?

То, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам можно доказать как минимум двумя путями:
1: Как уже писали выше, тупо "развернуть" его до состояния прямой.
2: Измерить все стороны, вычислить углы с помощью тригонометрии (теоремы синусов и косинусов), а потом суммировать все полученные значения.

Пускай у нас есть произвольный треугольник с вершинами КМН. Через вершину М проведем прямую параллельно прямой КН (еще эту прямую называют прямой Евклида). На ней отметим точку А таким образом, чтоб точки К и А были расположены с разных сторон прямой МН. Мы получаем равные углы АМН и КНМ, которые, как и внутренние, лежат накрест и образовываются секущей МН совместно с прямыми КН и МА, которые являются параллельными. Из этого следует, что сумма углов треугольника, расположенных при вершинах М и Н, равняется размеру угла КМА. Все три угла составляют сумму, которая равна сумме углов КМА и МКН. Поскольку данные углы являются внутренними односторонними относительно параллельных прямых КН и МА при секущей КМ, их сумма составляет 180 градусов. Теорема доказана. - Читайте подробнее на FB.ru: https://fb.ru/article/150393/summa-uglov-treugolnika-teorema-o-summe-uglov-treugolnika

Это фактически аксиома, переформулировка пятого постулата Эвклида. Есть неэвклидовы геометрии, в них это не так.

Развернутый угол 180°. Развернули и все.

Но Эвклид удостоверился транспортиром. А то стал бы он аксиому постулировать априори. Измерил и сложил сначала. Апостериори.

Это устанавливает теорема о сумме внутренних углов треугольника

От себя