Помогите разобраться с условием задачи. Оно не корректное, или я не понимаю чего-то, что всем очевидно?

Значит, повернуть по часовой вокруг оси, проходящей через самую правую точку опоры (на правом верхнем ребре ящика).

Решать - через правило моментов относительно вам понравивщейся оси. Мне бы понравилась ось, обнуляющая самые неудобные члены в моментах (напр., проходящая по этому самому ребру ящика).
Силу тяжести можно целиком приложить к ЦТ, центр тяжести для этого и придумали.

Расстояние от ЦТ до оси-ребра равно 15 см, расстояние от оси-ребра до левого конца равно 90 см, поэтому навскидку ответ mg/6, где 6 найдено как 90/15.

Полностью с Вами согласен: условие сформулировано некорректно. Я бы даже сказал, безграмотно.

Это задача на плечи, составляйте пропорции и решайте.

Не поднять, а приподнять.
Относительно красной точки сумму моментов от силы тяжести и силы подъема составляете.

Если приподнять левый конец нажатием на правый конец, то
х= 10 кгс*15 см/60 см= 2,5 кгс
Если приподнять непосредственно левый конец, то
х= 10кгс*15см/90 см= 1 2/3 кгс.

Если просто поднять целиком в воздух, то пофиг, как он там лежит, понадобится сила m g. Другой вариант: оторвать лом от ящка (оставив опору в одной точке), воздействуя на левый конец. Можно надавить на левый конец, чтобы поднять правый, можно просто поднять один только левый конец. Для этих двух случаев потребуется, скорее всего, разная сила. Для полного решения, наверное, стоит рассмотреть все варианты.

Там видимо есть и второй вопрос: "Какую силу необходимо приложить, чтобы поднять лом за ПРАВЫЙ конец?" иначе знать насколько он торчит слева для решения задачи не важно. А так всё понятно, центр масс в середине лома, дальше действует правило рычага... На сколько подымать лом значения не имеет. т.к. вопрос про изначальную силу (в момент отрыва), дальше она будет только уменьшаться и в вертикальном положении лома станет равна нулю...
как-то так.

По моей версии 16,6 ньютонов.
Задачка все же не очень школьная, ближе к 1 курсу техвуза. Но на сильном физмате можно и в 10 классе такое решить.
Суть в том, что лом лежит на ящике. Ты подходишь с левой стороны и преподнимаешь. Конец лома который свешивается с правой стороны, немного помогает тебе приподнять лом потому, что он вращает относительно точки А (см рисунок) по часовой. Сила тяжести на отрезки АС вращает лом против часовой. Всё же, при равномерно распределенной массе вдоль шеста, момент равен 0.5 * длину шеста до точки вращения * массу шеста.