Интеграл как понять

Есть определение интеграла - оно через ту самую сумму/площадь.
А твои потуги с производными - это как раз Ньютон-Лейбниц и есть. И это свойство интеграла, а не определение, поэтому особенного представления о самом интеграле не дает. Формальное доказательство есть здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus#Proof_of_the_first_part

У умножить на дт...и сумма...функцию то есть на дт...

проще всего как площадь, потмоучто потом придется интегрировать переменные вещи и надо понимать что это некая замена умножения.
вот например у тебе надо сложить много измерений - если они одинаковые то это просто умножение, а если меняется? например у тебя арифметическая прогресиия и числа от 1 до 100, как посчитать сумму если числа разные но ты знаешь по какому закону они меняются? для арифметической прогресии это первое плюс полследние пополям на количество - тупо площадь, а одна вторая потомучто треугольник, это и есть интеграл х = 0.5 х квадрат.
потом у тебя будут возникать задачи типа птичка весит 150 грам из них 50 грам жира сколько километров она пролитит если на километр тратит 1 г жира на 1 кг массы? масса то менятеся и ты не можешь просто поделить - приходится интегрировать.
когданибудть тебе придется считать момент инерции бочки, диска и шара - там масса распределена на разном расстоянии от оси вращения - опять рпидетсяя инегрировать, тоже самое со всякими полями которые меняются в пространстве

Без суммы дарбу ты не поймёшь