Каким образом после Большого Взрыва материя остыла достаточно для того, чтобы начали образовываться атомы?

Материя остывает единственным способом - излучением фотонов
Мы сейчас называем это излучение реликтовым

За счет расширения. Есть закон сохранения энергии - количество энергии во Вселенной ВСЕГДА одинаково. Но если Вселенная растет в объеме, то концентрация энергии неизбежно снижается. То есть, на каждый кубометр приходится все меньше энергии. А это и означает (в числе прочего) снижение средней температуры. На данный момент эта температура снизилась примерно до 3 градусов Кельвина :-)

адибатное расширение.

Выше уже написали, что расширение автоматически охлаждает. И произошло это, как писали в советских книгах, намного быстрее. Интересно, что при охлаждении вселенной в осадок выпали не только атомы, но и биосфера и человеческий мозг.

Важно лишь, чтобы охлаждение было щадящим, то есть, постепенным

И не надо забывать, что теория большого взрыва - это всего-лишь красивая, наглядная и удобная математическая модель. Она годна для понимания элементарных вещей типа появления материи и человека. Но если копать глубже, она уже выдыхается и нуждается в более серьёзной замене. Например, теорией стационарной вселенной.altlisek ru/vselen.htm

Расширение материи после взрыва невозможно без затрат энергии.

Для простоты, я упрощу расширение пространства до расширения газа в пустоту.
Берем герметичную емкость с перегородкой, газ в одной половинке. Перегородку очень-очень резко убираем (чтоб молекулы не успевали ее толкать и совершать работу по движению поршня), газ занимет весь сосуд, а температура газа не падает - работу-то газ не совершил.

А теперь вместо герметичной емкости с газом берем туманность Бумеранг. Туманность расширяется и ее температура падает. Т-ра падает, потому что мы усредняем кин. энергию молекул по относительно небольшим областям туманности, и каждая такая область порождает свою систему отсчета, в которой газ в среднем покоится и в которой мы и берем среднюю кин. энергию молекул.

Вот, расширение Вселенной, если очень грубо, приводит к падению температуры примерно по тем же причинам, по которым газ остывает в. уманности Бумеранг.