Как связан дифференциал и интеграл

Интеграл - это обратная по отношению к производной функция. Если ты нашёл производную из какой-то первообразной, то проинтегрировав эту производную - ты получишь первообразную.

Если взять простой пример - движение тела. Дифференциал тут - это мгновенная скорость, то есть, как ты и сказал, какой путь тело прошло бы за некую единицу времени если бы скорость была всегда одинаковая, как в этот момент. А вот интеграл - это весь пройденный путь за время движения, то есть учитываются изменения скорости и с какой скоростью сколько оно двигалось.

ну как я понимаю производная - это направление движения функции (вектор) в заданной точке, но раз уж мы интеграл считаем какими то пусть и маленькими но кусочками - вот это направление умноженное на толщину этой полосочки и будет кусочком площади а сложив все такие кусочки на отрезке функции и получим интегральную площадь функции этой. Смысл я думаю прост - сделать видимость что мы типа правльно считаем с учётом направления функции, но по факту по моему как нарезали на прямоугольные куски функцию, пусть и очень мелко - так и нарезаем

производная-как круто функция в точке растёт,ну-под каким углом к абсциссе,может и вниз,тогда производная отрицательна.А интеграл вообще просто,собери под функцией всю площадь)

В жопу интегралы, давай сперва разберемся с дифференциалами - на кой они вообще нужны, если есть производная.

В школе у тебя получается так:
Дифференциал заданной функции в заданной точке является прямой пропорциональностью (как функцией приращения аргумента).
А производная той же функции в той же точке - число, угловой коэффициент в этой прямой пропорциональности.

Хорошо, что у тебя прямая пропорциональность задается просто одним числом - угловым коэффициентом. Однако, мне придется некоторые новые для тебя слова сейчас чуть поиспользовать, приготовься.

Прямая пропорциональнсть - частный случай линейного оператора.
Чуть более навороченный линейный оператор одним числом так просто не задашь, а как только ты полезешь в вектрнозначные функции нескольких переменных - дифференциалы функции в точке быстренько станут такими чуть более навороченными линейными операторами.

А почему в обозначении интеграла полезно иметь переменную интегрирования и почему там удобно писать значок дифференциала; вопрос уже другой. Считай, что это, например, удобно.