Почему иррациональные числа записываются через запятую?

Здесь записывают не числа, а цифры одного и того же числа (рационального или иррационального - неважно), используя не совсем корректную, но понятную читателю запись, когда на первом месте записывается целое число (a0), затем пишется запятая (разделитель целой и дробной части), а a1, a2, a3 и т.д. - это цифры или знаки после запятой данного числа, которые здесь пишутся вместе и без пробелов. Уточняется, как правило, что не следует воспринимать данную запись как перемножение чисел a1, a2 и т.д. (вопреки правилу, согласно которому если между буквенными переменными не стоит никакой знак, то там стоит знак умножения).
Здесь имеется в виду, что если вместо a0 подставить конкретное целое число, а вместо a1, a2 и т.д. - конкретные цифры (просто заменив на них соответствующие буквы), то получится запись конкретного действительного числа (неважно, рационального или иррационального).
Нули справа дописывают в случае рационального числа, чтобы допустить единообразие записей рационального и иррационального числа и получить общепринятую запись действительного числа.
Например, если a0 = 10, a1 = 3, a2 = 5, a3 = 1, a4 = 7, a5 = 8 и т.д., то получится число 10,35178.... Многоточие после числа означает, что дальше последовательность цифр продолжается до бесконечности, и если так для каждого n можно определить соответствующую ему цифру an, то действительное число считается полностью заданным.
В случае, если число рациональное и может быть записано в виде конечной десятичной дроби (в десятичной записи числа есть последний знак после запятой), то справа можно приписать сколько угодно нулей, от этого число не изменится. В том числе и бесконечно много нулей, тогда получится общепринятая запись действительного числа.
Здесь же говорится, что есть ещё один способ записи числа, которое может быть записано в виде конечной десятичной дроби: уменьшить последний знак в его десятичной записи на 1 и приписать бесконечное количество девяток. В некоторой другой литературе упоминается, что такая форма записи числа (когда, начиная с какого-то знака после запятой идут одни девятки) запрещена, и в таком случае для любого действительного числа существует одна и только одна форма его записи в виде бесконечной десятичной дроби.

Вот что тебе ответить, если ты путаешь рациональные и иррациональные числа?!

В тексте на фото нет иррациональных чисел.
Дробная часть от целой отделяется тем символом, который принят в языке, для русского считается (ошибочно), что это запятая, хотя сейчас общепринята точка.
Способ записи чего-либо называют "нотацией", её обговаривают в стандартах.
Запись чисел меняется с течением времени. Вы ещё не сталкивались с "научной" нотацией.

Об иррациональности здесь речи нет, здесь о бесконечных десятичных дробях говорят - через них строят конструктивное определение действительного числа.

Вейерштрасс, придумавшмий теорию бесконечных десятичных дробей, немец. Он бесконечные десятичные дроби старался делать похожими на обычные. Интуиционизм, однако.

А Ильин и Садовничий - россияне, а Сендов, кажись, болгарин. Какой ты разделитель между целой и дробной частями бесконечной десятичной дроби ожидал ещё встретить в их учебнике? У нас давным-давно в обычных десятичных дробях запятая для этого используется.