Существует ли механический смысл дифференциала?

Пусть U(x) - потенциальная энергия деформированной пружины при деформации x.
Рассмотрим функцию f(x) = -U(x).
Пружина, вообще говоря, может не подчиняться закону Гука, отклонение может быть особо заметно при больших деформациях.

Сила упругости, рассчитанная по закону Гука - это дифференциал функции f в точке x = 0.
Используя гуковоское приближение для силы упругости (т.е. линеаризуя зависимость силы упругости от деформации), ты, по сути, используешь дифференциал.

есть, но поймёшь ли ты?

Так все знают дифф автомашины

Ну, отношение дифференциалов - скорость ...
Если отношение дифференциала к времени - скорость обычная. Иначе это может быть скорость погрузки, темпа убыли воды итд итп.

От дифференциала чего?
От дифференциала заданной функции в заданной точке на заданном приращении?
От дифференциала заданной функции в заданной точке?
От дифференциала в заданной точке на заданном приращении?
и т,д., все 8 вариантов перечислять не буду.

Вообще, значение дифференциала зависит от трех фиговин - от функции, от рассматриваемой точки, от приращения.
При первом знакомстве с дифференциалом у тебя функция и точка фиксируются, дифференциал получается линейной функцией приращения (точнее, прямой пропорциональностью, более общо - линейным отображением, которым можно действовать на вектор приращения). Но уже при полуторном знакомстве с дифференциалом у тебя в голове получается каша от того, что у тебя фиксировано, а что - нет.

Конечно, есть.
У автомобиля, например.
При повороте с малым радиусом внешнее колесо вращается медленнее, чем внутреннее относительно радиуса поворота.

А вот у вагонов ось цельная, оба колеса на оси колесной пары.
Роль дифференциала выполняет профиль обода колеса.
Внешнее колесо при соприкосновении с рельсом и центробежным ускорением имеет больший радиус.
Поэтому и слышен лязг и скрежет от колес на малых скоростях, когда нет центробежного ускорения на поворотах.