ЗАДАЧА ЕГЭ МЦКО, геометрия, нужна помощь в решении

Дано: Прямоугольная трапеция ABCD, на меньшей стороне CD, как на диаметре, построена окружность. L – точка касания другой боковой стороны AB с окружностью. AL = 3, радиус равен R.

Найти: BD - ?

Решение: AD, AB, BC – касательные к окружности. Т.к. CD – диаметр окружности (пусть центр окружности – O) => CD = CO + OD  CO = OD = CD/2 = R. Радиус перпендикулярен касательной => ∠ADO= ∠BCO= ∠OLB=∠OLA=90°. Отрезки касательных, проведённых из одной точки равны => AD = AL = 3, BL = BC.
Точка O равноудалена от сторон ∠BAD (OL = OD; OL и OD – расстояния до сторон угла) => она лежит на биссектрисе ∠BAD, т.е. AO – биссектриса => ∠BAO=∠DAO.
Аналогично с OB (она тоже биссектриса)
Пусть ∠BAO=∠DAO= α, тогда в прямоугольных треугольниках DAO и OLA другой острый угол 90- α. ∠COD – развернутый => ∠COL+ ∠LOD=180° <=> ∠COL+ 2(90- α)=180° => ∠COL=2α. Т.к. OB – биссектриса => ∠COB= ∠BOL=α (в прямоугольных треугольниках с этими углами другой острый угол 90- α).
Пусть BL = BC = x. Заметим, что ⊿AOD ~ ⊿OBC (по двум углам: α и 90- α). Распишем подобие:
BC/OD=OC/AD=OB/OA=k
Равносильный переход:
x/R=R/3=OB/OA=k
Из уравнение следует, что R^2=3x.
В прямоугольном треугольнике BDC по теореме Пифагора:
BC^2+CD^2=BD^2
x^2+(2R)^2=BD^2
x^2+4R^2=BD^2 (4R^2=12x (следует из уравнения, найденного ранее)).
x^2+12x=BD^2
Проведём AP, параллельную CD. Отсюда следует, что AP и BC перпендикулярны. По теореме Пифагора в ⊿BAP:
(x+3)^2-(2R)^2=BP^2
BP^2=x^2+6x+9-4R^2
BP^2=x^2+6x+9-12x
BP^2=(x-3)^2
BP=x-3
CP = AD (противолежащие стороны прямоугольника ADCP) =>
x+x-3=3
x=3
Находим BD:
BD=√(3^2+12⋅3)=√(9+36)=√45=3√5
Ответ: BD=3√5

Комментарий: Я удивлен от задачи: если проверить, то эта трапеция на самом деле прямоугольник, попробуйте найти синус 2-альфа и убедитесь, что он равен 1. Я проверил ряд теорем в задаче, чтобы подтвердить ответ. На удивление, все верно. Я сам не считаю свое решение верным.

обойдешся

Для начала рассмотрим треугольник ALO, где O - центр окружности.

Так как AL = 3, а радиус окружности r, то можно записать уравнение:
AL^2 = AO^2 + LO^2
3^2 = r^2 + LO^2
9 = r^2 + LO^2 (1)

Также, так как O - центр окружности, то LO является высотой прямоугольной трапеции CDAB, а AM - биссектрисой угла A.

Заметим, что треугольник ADB является подобным треугольнику ALM, поэтому можно записать пропорцию:
BD/AL = MD/LM

Так как AL = 3 и MD = r (так как MD - радиус окружности), то:
BD/3 = r/LO
BD = 3r/LO (2)

Теперь необходимо найти LO.

Рассмотрим треугольник ADM: AD^2 = AM^2 + MD^2. Так как AD = 2LO (так как AD - большее основание прямоугольной трапеции), то можно записать уравнение:
(2LO)^2 = (LO + r)^2 + r^2

Упростим это уравнение:
4LO^2 = LO^2 + 2LOr + r^2 + r^2
3LO^2 - 2LOr - 2r^2 = 0

Теперь можно решить квадратное уравнение относительно LO:
3LO^2 - 2LO*r - 2r^2 = 0

LO = (2r +/- √(4r^2 + 24r^2))/6
LO = (2r +/- √(28r^2))/6
LO = (r +/- √(7r^2))/3

Так как LO > 0, то выбираем положительный знак:
LO = (r + √(7r^2))/3 (3)

Подставим выражение (3) в уравнение (2):
BD = 3r/((r + √(7r^2))/3)
BD = 3r/(r/3 + √(7r^2)/3)
BD = 9r/(r + √(7r^2))

Таким образом, BD = 9r/(r + √(7r^2))

Надеюсь, это поможет вам решить вашу задачу!