Какой минимальной широты можно достичь, если начальный азимут (истинный) из точки отправления =60 градусов ?

Вот 30 градусов (начального значения) и можно достичь. Движение с постоянным азимутом - это движение по спирали, при котором широта будет всё время увеличиваться, асимптотически прибоижаясь к 90 градусам (типа "куда придёшь, если всё время идешь на северо-запад". Вот как раз на Северный полюс и придёшь...) .
Другое дело, если сказать, что 60 градусов - это НАЧАЛЬНЫЙ азимут. Тогда условие "по кратчайшему пути на сфере" означает движение по дуге большого круга, но тогда задачка должна быть относительно МАКСИМАЛЬНОЙ широты (впрочем, там будет и минимальное - но в Южном полушарии, в котором широту можно считать отрицательной) .
Рисуем рисунок - земной шар радиуса 1 (для удобства) , на который мы смотрим из бесконечности, но ровно над точной отправления. В такой проекции как меридиан этой точки, так и дуга большого круга - диаметры, пересекающиеся рьвно в цетре окружности под углом в 60 градусов. Экватор будет выглядеть как эллипс с малой полуосью, равной половине радиуса, полюса будут выглядеть как точки на диаметре, отстоящие на (корень из 3 пополам) от центра. Соответственно меридиан, проходящий через точку максимальной широты, будет восприниматься как эллипс с большой полуосью в корень из 3 пополам, и сама эта точка ищется как точка пересечения эллипса с наклонным диаметром. Поскольку параметры эллипса известны, то координата этой точки в принципе находится. А максимальная широта - это длина дуги эллипса от проекции полюса до точки пересечения, делённая на корень 3 пополам и пересчитанная на градусы.

ООооо. Шикарный вопрос! Такие на ум приходят только ночью )))
5 баллов!