Вопрос об аккумуляторе авто

Видимо да. В разряженном виде нельзя его хранить. Потом уже не восстановишь

заряай нормальным током, а как закипит снижай и заряжай уменьшенным несколько часов, пока плотность не востановится

"Малым током зарядил аккумулятор почти до полного, показывало 13.87 вольт,"
почти не считается, нужно заряжать до полного, по напряжению и плотности электролита

Видимо надо посмотреть уровень электролита, если его не видно, добавить дистилированной воды, зарядить и проверить плотность.

Аккум -- аллес капут!

Открутите пробки если есть если нет попробуйте найти как снять крышку и добратся до пробок, поставьте на зарядку и в конце зарядки посмотрите все ли банки акб кипят, если 1-2 банки не кипит то в них короткое замыкание, и акб дохлый, тогда возможно такая как у вас ситуация, можно также нагрузить акб другими потребителями и померять просадку (свет, мощно обогреватель стекла, музыка и очень мощно гудок)
Если кипят то вероятно акб цел, раз востанавливается до 12.7 после падения а искать причину надо в авто, например короткое замыкание на проводах стартера или в его обмотках, это опасно и возможно возгорание, тестером проверьте сопротивление на клемах стартера
Основные поломки акб всего 2 это сульфотация пластин тогда акб не заряжается до положенного напряжения вообще (12.7 это нормальное, не ваш вариант) и емкость падает что дает также большую просадку через отверстия видно покоробленные пластины в белом налете
Вторая это короткое замыкание пластин при котором до нескольких банок просто закорочены, напряжение может и понднятся до нормы но чаще через несколько часов падает, акб при зарядке сильно греется, банки где кз не кипят, при потребителях просаживается напряжение очень низко
Много но...

нужно заряжать кислотник не до 13.8 а до 16.5 когда начнет бурлить (шуметь) вот тогда он заряжен!