Обязана ли трудовая инспекция проводить проверку на предприятии по жалобе?

Запросить доки работника - что то я вообще не слышал про такое решение проблем со стороны трудовой инспекции. ))))))
Обычно когда вы понимаете что ваш работодатель "накосячил" перед вами, идёте в вашу трудовую инспекцию и пишите заяву в которой указываете какие именно нарушения допустил ваш работодатель. Думаю как это правильно изложить вам подскажут сами инспекторы. По логике вещей он (инспектор) , должен там будет провести проверку. Но как правило не раньше чем через месяц после подачи вами этого заявления. И потом.. . не забывайте что в ряде регионов этих инспекторов ооооооооочень мало! А предприятий - немерено. Он один просто физически не в силах справиться с таким их количеством. Поэтому если всё-таки посчитаете нужным написать заявление - однозначно лишним не будет. Авось вам и повезёт...)) ) А вообще рекомендую порыться в интернете и почитать как нужную вам проблему предпочитает решать большинство.

Сам сейчас нахожусь в щекотливом положении. И прям рука чешется пойти и накатать "телегу" в трудовую инспекцию на своё руководство. )))))))))) Не выплатили ("зажали") деньги за дни обучения на которое меня сами же и послали....)))

Службы обязаны реагировать, если только есть оффициальное заявление от конкретного лица.
Я лично знаю чела, по заявлению которого закрыли фирму. Он написал жалобу в трудовую, а та, в свою очередь сообщила в другие органы. В офис приехали маскишоу, всех допросили, кого надо забрали с собой, забрали все компы, кароче проверили по полной, после проверки фирма не выплыла, т. к. вылезло все. И нарушение ТК, клонение от уплаты налогов, нелицензионный софт и т. д. . Кароче мало не показалось.

нет не обязана в кодексе написано

Артем Ракитин не вводите людей в заблуждение!
Как раз трудовая инспекция обязана провести проверку по письменному обращению гражданина, основание Федеральный закон от 02.05.2006 N 59-ФЗ.