Женщина 21 апреля написала заявление на увольнение с 23 апреля. Должна ли она отрабатывать 2 недели?

решает директор...

если испытательный срок прошел то, да.. . иногда, работодатели отпускают и без отработки (это после испытательного срока)

по КЗоТ должна, по соглашению с администрацией может не отрабатывать

Никто статью 80 Трудового кодекса Российской Федерации (далее - ТК РФ) не отменял.
В соотв. со статьей 80 ТК РФ Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен кодексом иными федеральными законами. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

А кто у нее такое заявление принял, мне вот интересно, ей подписали? Если да, то ничего отрабатывать не надо. Если нет, то пусть идет переписывать.

решает администрация

Обычно я если хочу уволиться без отработки пишу заявление и спокойно ухожу на больничный. Отдохну 14дней подыщу за это время другую работу и прихожу за увольнением. Еще и деньги получу по больничному. Мало двух недель (болею еще) хоть месяц. Если нужно уволиться срочно то в заявлении указываю уважительную причину. Увольнение по уважительной причине без отработки.

Работодатель обязан уволить работника, если заявление об увольнении написано за две недели до даты увольнения. Т. е. удержать не имеет права.
Но работодатель может отпустить и без отработки 14 дней, если захочет. Заставить его нельзя!
В общем, договаривайтесь или отрабатывайте.

Если в договоре работадателя прописано, то да.

Ну типа да, если администрация требует

Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)
Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

До истечения срока предупреждения об увольнении работник имеет право в любое время отозвать свое заявление. Увольнение в этом случае не производится, если на его место не приглашен в письменной форме другой работник, которому в соответствии с настоящим Кодексом и иными федеральными законами не может быть отказано в заключении трудового договора.

По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет.

Если по истечении срока предупреждения об увольнении трудовой договор не был расторгнут и работник не настаивает на увольнении, то действие трудового договора продолжается.