нужно ли отработать две недели после увольнения по семейным обстоятельствам?

Представить начальству обстоятельства. Если начальство решит, что они уважительные, то отпустит без отработки.
В данной ситуации начальство право.
За отпуск Вы получите компенсацию при увольнении в денежном выражении.

Никто статью 80 Трудового кодекса Российской Федерации (далее - ТК РФ) не отменял.
В соотв. со статьей 80 ТК РФ Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен кодексом иными федеральными законами. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

P.S. Согласно закону 2 недели - "не отработка". Вы предупреждаете работодателя за 2 недели до увольнения. Между двумя этими понятиями большая разница.

P.P.S. Расторгнуть трудовой договор не утруждая себя лишним трудом на работодателя возможно только тремя способами:

-Расторгнуть договор по соглашению сторон;
-Предупредить работодателя об увольнении за 2 недели находясь в отпуске;
-Предупредить работодателя и заболеть.

Согласно 80-ой статье
Во-первых, "По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении. "
Во-вторых, "В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника. "

да