Можно ли уйти в оплачиваемый ученический после 1 месяца работы?

А почему, собственно говоря, нет? ? Хоть на след. день после оформления) Это закон (ТК РФ, почитай-ка, кстати! ) Есть справка-вызов из универа? Если да, какие проблемы) )
Тебе дают справку из универа и ты несешь ее на работу и относишь в отдел кадров (только перед этим обязательно зарегистрируй документ как входящее письмо, например, у секретаря/делопроизводителя, или кто у вас в организации отвечает за входящую/исходящую корреспонденцию) , иначе потом скажут что не видали никакой справки и в помине. Отдел кадров скажет писать заявление, мол, прошу предоставить мне оплачиваемый ученический отпуск согласно справки-вызову №... от.. . на период с.... по ...(период отпуска) . И усё))) Кадры проведут в 1С приказ на отпуск (в нем и ты должен расписаться как ознакомлен) , тебе перечислят отпускные.
Если руководитель может тебя отпустить на весь период сессии (месяц) , то окей. Если нет и работы много, да и заменить тебя некому, то попросит выходить. Смотри сам. Если надо время на подготовку, то не ходи на работу, если по силе тебе работать и сдавать зачеты/экзамены, то выходи. В таком случае твое отсутствие на работе будет иметь оправдательный документ.

в бюджетной организации обязаны отпустить

Меня тоже этот вопрос интересует. Скорей всего нет.

Можете, хоть через неделю после устройства. От вас: справка-вызов+заявление. Если учебное заведение негосударственное-копия аккредитации на оказание услуг по обучению.