Может ли работодатель отказать одинокой матери взять день за свой счет?

может. в ст. 128 ТК РФ вполне конкретно указаны категории работников, которым не имеют права отказать в отпуске без сохранения зарплаты, материй - одиночек в этом списке нет, так что им отпуск без содержания предоставляется на общих основаниях, т. е. с согласия работодателя.
а ст. 263 ТК РФ дает право работодателю предусмотреть в коллективном договоре отпуск без содержания дополнительно для некоторых категорий работников, которые не указаны в ст. 128 ТК РФ. если коллективным договором вашего предприятия такой отпуск предусмотрен, значит не имеют права вам отказать в его предоставлении.

Запросто.

может да, а может нет. От настроения

Одинокая или нет - не суть. Пишите заявление, устно такие вещи не делаются. В целом - да, может. Если совсем-совсем строчно - выходите на больничный.

Статья 263. Дополнительные отпуска без сохранения заработной платы лицам, осуществляющим уход за детьми
Работнику, имеющему двух или более детей в возрасте до четырнадцати лет, работнику, имеющему ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет, одинокой матери, воспитывающей ребенка в возрасте до четырнадцати лет, отцу, воспитывающему ребенка в возрасте до четырнадцати лет без матери, коллективным договором могут устанавливаться ежегодные дополнительные отпуска без сохранения заработной платы в удобное для них время продолжительностью до 14 календарных дней. Указанный отпуск по письменному заявлению работника может быть присоединен к ежегодному оплачиваемому отпуску или использован отдельно полностью либо по частям. Перенесение этого отпуска на следующий рабочий год не допускается.