Купил путевку, сразу написал на отпуск с 10-22 августа. Но коллега тоже хочет в отпуск с 15 как быть?

пишите заявление заранее, с руководством оговорите, что путевка уже куплена, а коллега пусть сам свои вопросы решает

Вообще то, по закону отпуска обязаны предоставлять по графику. А право на отпуск за первый рабочий год возникает после 6 месяцев работы, так что новый работник вполне может на законных основаниях отпуск потребовать, если отработает к августу 6 месяцев . Если работодатель график не составил и не утвердил, а устроил бардак и анархию, то пусть и разбирается, кому и как будет отпуска предоставлять.

кто первей написал тот и прав

Кому приказ на отпуск подпишут - тот и пойдет.

Поставь начальнику на вид, что у тебя подписано заявление, а у него - нет. И дуй отдыхать) Это уже будут его проблемы (коллеги).

Да обо уходите. Кому это ваша конура нужна

С формальной точки зрения - приоритет у того, чей отпуск с графиком отпусков совпадает. Если графика нет, то дальше решает руководитель - раньше заявление принесете - больше шансов, что именно Вы пойдёте в отпуск.
Ели по графику у Вас отпуск в другое время и возможности Вас отпустить сейчас нет ни какой, то работодатель имеет полное право отказать. Чтобы не потерять деньги в следующий раз берите путевку в соответствии с графиком. Он обязателен для исполнения и работником, и работодателем.
Можете попробовать перенос отпуска в графике на эти даты оформить. Время еще позволяет это сделать.

Кто первым сел - тот и рыбку съел! Нужно ходить по головам! Не хожу на выбору и не втираю дичь, в пятом поколении коренной москвич

В административный отпуск пойдёте, если что